第 12 讲： 二次函数综合 2023年中考数学解答题专项复习讲义

第 12 讲： 二次函数综合 2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版） 第一部分：中考真题 1、在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD=2S△APQ时，求点P的坐标． （3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG=60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值． 【答案】解：（1）将点A（3，4），B（-1，0）代入y=ax2+bx+4， 得：， 解得， ∴y=-x2+3x+4； （2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E， ∵A（3，4），AD⊥x轴， ∴D（3，0）， ∵B（-1，0）， ∴BD=3-（-1）=4， ∵S△AQD=2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形， ∴=， ∵PE∥x轴， ∴△PQE∽△DQB， ∴==， ∴=， ∴PE=2， ∴可求得直线AB的解析式为y=x+1， 设E（x，x+1），则P（x-2，x+1）， 将点P坐标代入y=-x2+3x+4得-（x-2）2+3（x-2）+4=x+1， 解得x1=3+，x2=3-， 当x=3+时，x-2=3+-2=1+，x+1=3++1=4+， ∴点P（1+，4+）； 当x=3-时，x-2=3--2=1-，x+1=3-+1=4-， ∴P（1-，4-）， ∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点， ∴-1＜x-2＜3， ∴点P的坐标为（1+，4+）或（1-，4-）； （3）由（1）得，抛物线的解析式为y=-x2+3x+4， ∴C（0，4）， ∵A（3，4）， ∴AC∥x轴， ∴∠OCA=90°， ∴GH⊥MN， ∴∠GHM=90°， 在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM=180°， 如图2，连接CH， 则∠GCH=∠GMH=60°， ∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上， ∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q， ∵∠GCH=60°， ∴∠HCM=30°， 又BH⊥CH， ∴∠BHC=90°， ∴∠BHP=∠HCM=30°， 设OP=a，则CQ=a， ∴QH=a， ∵B（-1，0）， ∴OB=1， ∴BP=1+a， 在Rt△BPH中，HP==（a+1），BH==2（1+a）， ∵QH+HP=AD=4， ∴a+（a+1）=4， 解得a=， ∴BH最小=2（1+a）=． 【解析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）作PE∥x轴，交AB于点E，由S△AQD=2S△APQ且△AQD与△APQ是等高的两个三角形知=，证△PQE∽△DQB得==，据此求得PE=2，求得直线AB的解析式为y=x+1，设E（x，x+1），知P（x-2，x+1），将点P坐标代入y=-x2+3x+4求得x的值，从而得出答案； （3）证∠GHM=90°，再证点C、G、H、M共圆得∠GCH=∠GMH=60°，据此知点H在与y轴夹角为60°的定直线上，从而得BH⊥CH时，BH最小，作HP⊥x轴，并延长PH交AC于点Q，证∠BHP=∠HCM=30°，设OP=a，知CQ=a，从而得QH=a，BP=1+a，在Rt△BPH中，得出HP=（a+1），BH=2（1+a），根据QH+HP=AD=4可求得a的值，从而得出答案． 本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识 2、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A（-2，-4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AME面积的时，请直接写出线段AM的长． 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-2，-4）和点C（2，0）， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2； （2）存在，理由是： 在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F， 在y=-x2+x+2中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B坐标为（-1，0）， ∴点E坐标为（1，0）， 可知：点B和点E关于y轴对称， ∴∠BDO=∠EDO，即∠B