第 11 讲： 几何图形变换 2023年中考数学解答题专项复习讲义

第 11 讲： 几何图形变换 2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版） 第一部分：中考真题 1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE=90°，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF． （1）若AC=BC，BD=DE． ①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为______． ②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． （2）若BC=2AC，BD=2DE，=，且E，C，F三点共线，求的值． 【答案】（1）①DF=CD ​​​​​​​②结论仍然成立． 理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G． ∵四边形AFED是平行四边形， ∴AF=DE，DE∥AF， ∵BD=DE， ∴AF=BD， ∵∠BDE=90°， ∴∠DEH=∠DHA=90°=∠BCG， ∵∠CGB=∠AGH， ∴∠CBD=∠CAF， ∵BC=AC， ∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴∠BCD=∠ACF，CD=CF， ∴∠BCA=∠DCF=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴DF=CD． （2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G． ∵四边形AFED是平行四边形， ∴AF=DE，DE∥AF， ∵∠BDE=90°， ∴∠EDH=∠DHA=90°=∠BCG， ∵∠CGB=∠AGH， ∴∠CBD=∠CAF， ∵==2， ∴=， ∴△CBD∽△CAF， ∴==2，∠BCD=∠ACF， ∴∠BCA=∠DCF=90°， ∵AD∥EF， ∴∠ADC+∠DCF=180°， ∴∠ADC=90°， ∵CD：AC=4：5，设CD=4k，AC=5k，则AD=EF=3k， ∴CF=CD=2k， ∴EC=EF-CF=k， ∴DE=AF===k， ∴==． 【解析】解：（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G． ∵四边形AFED是平行四边形， ∴AF=DE，DE∥AF， ∵BD=DE， ∴AF=BD， ∵∠BDE=90°， ∴∠EDF=∠DFA=90°=∠BCG， ∵∠CGB=∠AGF， ∴∠CBD=∠CAF， ∵BC=AC， ∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴∠BCD=∠ACF，CD=CF， ∴∠BCA=∠DCF=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴DF=CD． 故答案为DF=CD． ②见答案 （2）见答案． （1）①证明△BCD≌△ACF（SAS），即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题． ②结论仍然成立．如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．证明方法类似（1）． （2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．证明△CBD∽△CAF，推出==2，∠BCD=∠ACF，推出∠BCA=∠DCF=90°，证明∠ADC=90°，由CD：AC=4：5，设CD=4k，AC=5k，则AD=EF=3k，求出AF，CE（用k表示）即可解决问题． 本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 2、在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F． （1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH． ①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是______，位置关系是______； ②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB=3，BC=2，求GM的最小值． 【解析】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠CBF+∠AEB=90°， ∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE=CF，AE=BF， ∵△FCH为等腰直角三角形， ∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC， ∴FH∥BC， ∴四边形BEHF为平行四边形， ∴BF∥EH且BF=EH， ∴AE=EH，AE⊥EH， 故答案为：相等；垂直； ②成立，理由是： 当点E在线段BC的延长线上时， 同理可得：△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE=CF，AE=BF， ∵△FCH为等腰直角三角形， ∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC， ∴F