第 10 讲： 二次函数 应用题 2023年中考数学解答题专项复习讲义

第 10 讲： 二次函数 应用题 2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版） 第一部分：中考真题 1、某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示． (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式． (2)设这种商品月利润为W(元)，求W与x之间的函数关系式． (3)这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大?最大月利润是多少? 【答案】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b， 将（40，140），（60，120）代入得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y=-x+180； 当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n， 将（90，30），（60，120）代入得， 解得：， ∴y=-3x+300； 综上所述，y=； （2）当40≤x≤60时， W=（x-30）y=（x-30）（-x+180） =-x2+210x-5400， 当60＜x≤90时， W=（x-30）（-3x+300） =-3x2+390x-9000， 综上所述，W=； （3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400， ∵-1＜0，对称轴x=-=105， ∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大， ∴当x=60时， ​​​​​​​W最大=-602+210×60-5400=3600， 当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000， ∵-3＜0，对称轴x=-=65， ∵60＜x≤90， ∴当x=65时， W最大=-3×652+390×65-9000=3675， ∵3675＞3600， ∴当x=65时，W最大=3675， 答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675元． 【解析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用，也考查了运用待定系数法求一次函数解析式．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键． （1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论； （2）当40≤x≤60时和当60＜x≤90时，分别根据题意即可得到函数解析式； （3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 2、某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示： 每件售价x（元） … 15 16 17 18 … 每天销售量y（件） … 150 140 130 120 … （1）求y关于x的函数解析式； （2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式； （3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】解：（1）设y=kx+b， 由表可知：当x=15时，y=150，当x=16时，y=140， 则，解得：， ∴y关于x的函数解析式为：y=-10x+300； （2）由题意可得： w=（-10x+300）（x-11）=-10x2+410x-3300， ∴w关于x的函数解析式为：w=-10x2+410x-3300； （3）∵=20.5， 当x=20或21时，代入， 可得：w=900， ∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元． 【解析】（1）根据表格中数据利用待定系数法求解； （2）利用利润=销售量×（售价-成本）即可表示出w； （3）根据（2）中解析式求出当x为何值，二次函数取最大值即可． 本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所含的数量关系，正确列出相应表达式． 3、2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． （1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】解：