第 9 讲： 三角函数 应用题 2023年中考数学解答题专项复习讲义

第 9 讲： 三角函数 应用题 2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版） 第一部分：中考真题 1、如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示． 则DE∥CF，∠DEA=∠CFA=90°． ∵DC∥EF， ∴四边形CDEF为平行四边形． 又∵∠CFE=90°， ∴▱CDEF为矩形， ∴CF=DE． 根据题意得：∠DAB=45°，∠DBE=60°，∠CBF=45°． 设DE=x nmile， 在Rt△DEA中，∵tan∠DAB=， ∴AE==x nmile． 在Rt△DEB中，∵tan∠DBE=， ∴BE==x nmile． ∵AB=20×0.3=6nmile，AE-BE=AB， ∴x-x=6，解得：x=9+3， ∴CF=DE=（9+3）nmile． 在Rt△CBF中，sin∠CBF=， ∴BC===9+3≈20nmile． 答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile． 【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE=90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE=xnmile，则AE=x（nmile），BE=x（nmile），由AB=6nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键． 2、图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60°，∠ACB=15°，AC=40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） 【答案】解：如图2，过C作CD⊥MN于D， 则∠CDB=90°， ∵∠CAD=60°，AC=40， ∴CD=AC•sin∠CAD=40×sin60°=40×=20， ∵∠ACB=10°， ∴∠CBD=∠CAD-∠ACB=45°， ∴BC=CD=20≈49（cm）， 答：支架BC的长约为49cm． 【解析】如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB=90°，根据三角函数的定义即可得到结论． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 3、小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，co22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732） 【答案】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F， ∵BC⊥AB， ∴四边形BCFE是矩形， ∴BE=CF，EF=BC=150 m， 设DF=x m，则DE=（x+150）m， 在Rt△ADE中，∠BAD=30°， ∴AD=2DE=2（x+150）m， 在Rt△DCF中，∠FCD=22.6°， ∴CD==≈x m， ∵AD=CD+BC， ∴2（x+150）=+150， 解得x=250m， ∴DF=250 m， ∴DE=250+150=400 m， ∴AD=2DE=800 m， ∴CD=800-150=650 m， 由勾股定理得AE===400m， BE=CF===600 m， ∴AB=AE+BE=400+600≈1293m， 答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m． 【解析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE=CF，EF=BC=150 m，设DF=xm，则DE=（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=2DE=2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD=≈xm，根据题意得到2（x+150）=+150，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键． 第二部分：考点解读 一、锐角三角函数的实际应用 1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较