第 5 讲： 圆 2023年中考数学解答题专项复习讲义

第 5 讲： 圆 2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版） 第一部分：中考真题 1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE=∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）若D是AC的中点，∠A=30°，BC=4，求DF的长． 【答案】解：（1）如图，连接BD, ∵∠ACB=90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE， ∵∠FDE=∠DCE，∠BCE+∠DCE=∠ACB=90°， ∴∠BDE+∠FDE=90°， 即∠BDF=90°， ∴DF⊥BD， 又∵BD是⊙O的直径， ∴DF是⊙O的切线． （2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4， ∴AB=2BC=2×4=8， ∴=4， ∵点D是AC的中点， ∴， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB=90°， ∴∠DEA=180°-∠DEB=90°， ∴， 在Rt△BCD中，==2， 在Rt△BED中，BE===5， ∵∠FDE=∠DCE，∠DCE=∠DBE， ∴∠FDE=∠DBE， ∵∠DEF=∠BED=90°， ∴△FDE∽△DBE， ∴，即， ∴． 【解析】（1）可证得BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE，则∠BDE+∠FDE=90°，结论得证； （2）先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证得△FDE∽△DBE，由比例线段可求出DF长． 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题． 2、如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F． （1）求证：AE=AF． （2）若EF=12，sin∠ABF=，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A， ∴FA⊥AB， ∴∠FAB=90°， ∴∠F+∠B=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAE+∠CEA=90°， ∵=， ∴∠CAE=∠D， ∴∠D+∠CEA=90°， ∵∠D=∠B， ∴∠B+∠CEA=90°， ∴∠F=∠CEA， ∴AE=AF． （2）解：∵AE=AF，∠ACB=90°， ∴CF=CE=EF=6， ∵∠ABF=∠D=∠CAE， ∴sin∠ABF=sin∠CAE=， ∴， ∴AE=10， ∴AC===8， ∵sin∠ABC===， ∴AB=， ∴OA=AB=． 即⊙O的半径为． 【解析】（1）由切线的性质得出∠FAB=90°，由圆周角定理得出∠CAE=∠D，∠D=∠B，证得∠F=∠CEA，则可得出结论； （2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE=10，由勾股定理求出AC，则可求出AB的长． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD=BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA=2∠E． （1） 求证：CF是⊙O的切线； （2）若AC=6，AG=，求⊙O的半径． 【答案】解：（1）∵∠B=∠AGC，∠ADG=∠CDB， ∴△ADG∽△DCB， ∴， ∵BD=BC， ∴GD=GA， ∴∠ADG=∠DAG， 又∵AE⊥AB， ∴∠EAD=90°， ∴∠GAE+∠DAG=∠E+∠ADG=90°， ∴∠GAE=∠E， ∴AG=DG=EG，∠AGD=2∠E， ∵∠FCA=2∠E， ∴∠FCA=∠AGD=∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠CAB+∠B=90°， 又∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAB， ∴∠FCA+∠ACO=90°， ∴∠FCO=90°， 即CF是⊙O的切线； （2）∵CF是⊙O的切线，AE⊥AB， ∴AF=CF， ∴∠FAC=∠FCA=2∠E， ∴AC=AE=6， 又∵AG=DG=EG=， 在Rt△ADE中，AD=， 设⊙O的半径为x，则AB=2x，BD=BC=2x-2， 在Rt△ABC中，62+（2x-2）2=（2x）2， 解得：x=5， ∴⊙O的半径为5． 【解析】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目难度中等，有一定综合性，属于中考常见题型，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质及利用勾股定理列方程是解题关键． （1）根据AA定理判定△ADG∽△DCB，然后结合相似三角形的性质求得∠AGD=2∠E，从而可得∠FCA=∠AGD，然后结合等腰三角形的性质求得∠FCO=90°，从而判定CF是⊙O的切