第 4 讲： 平行四边形 2023年中考数学解答题专项复习讲义

第 4 讲： 平行四边形 2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版） 第一部分：中考真题 1、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD． 【答案】证明：连接AC， 在△AEC与△AFC中 ， ∴△AEC≌△AFC（SSS）， ∴∠CAE=∠CAF， ∵∠B=∠D=90°， ∴CB=CD． 【解析】先证明△AEC≌△AFC，根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CAF，利用角平分线的性质解答即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 2、如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG=DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠C，AD∥BC，AB∥CD， ∵AF∥ED， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠DGC=∠ADE， ∵DG=DC， ∴∠DGC=∠C， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∴平行四边形AEDF是菱形． 【解析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证∠BAD=∠ADE，则AE=DE，即可得出结论． 本题了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出AE=DE是解题的关键． 第二部分：考点解读 1、平行四边形 (1)定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 (2)平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 （5）平行四边形的面积 S平行四边形=底×高 (6)中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 2、平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半． （3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 第三部分：自主练习 1、如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，． (1)求证：四边形是平行四边形．(2)当，时，求的长． 2、如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°。(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 3、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 4、如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ； (2)进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论； (3)已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离． 5、如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：． 6、如图，已知点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD上，且AE=CF．求证：DE=BF． 7、如图，在中，分别平分，交于点． (1)求证：；(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积． 8、在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长D