第 3 讲：反比例函数与一次函数的交点问题 2023年中考数学解答题专项复习讲义

第 3 讲：反比例函数与一次函数的交点问题 2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版） 第一部分：中考真题 1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM=OM=2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积． 【答案】解：（1）∵BM=OM=2， ∴点B的坐标为（-2，-2）， ∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B， 则-2=，得k=4， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵点A的纵坐标是4， ∴4=，得x=1， ∴点A的坐标为（1，4）， ∵一次函数y=mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（-2，-2）， ∴，解得， 即一次函数的解析式为y=2x+2； （2）∵y=2x+2与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∵点B（-2，-2），点M（-2，0）， ∴OC=MB=2， ∵BM⊥x轴， ∴MB∥OC， ∴四边形MBOC是平行四边形， ∴四边形MBOC的面积是：OM•OC=4． 【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答. （1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式即可求得． 2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC=3． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△CDE的面积． 【答案】解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B， ∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形， ∴AE=CE， ∵AC=，即， 解得：AE=CE=3， 在y=x+1中，令y=0，则x=-1， ∴A（-1，0）， ∴OE=2，CE=3， ∴C（2，3）， ∴k=2×3=6， ∴反比例函数表达式为：， （2）联立：， 解得：x=2或-3， 当x=-3时，y=-2， ∴点D的坐标为（-3，-2）， ∴S△CDE=×3×[2-（-3）]=． 【解析】（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值； （2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积． 本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答． 3、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限交于C，D（-6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若=． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求四边形OCDE的面积． 【答案】解：（1）将D（-6，2）代入y=中， k2=-6×2=-12， ∴反比例函数的解析式为y=-； 过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴， ∵DE∥OC， ∴△ADE∽△ACO， ∴， ∴CN=3DM=6， 将y=6代入y=-中， -， 解得：x=-2， ∴C点坐标为（-2，6）， 将C（-2，6），D（-6，2）代入y=k1x+b中， 可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为y=x+8； （2）设直线OC的解析式为y=mx， 将C（-2，6）代入，得：-2m=6， 解得：m=-3， ∴直线OC的解析式为y=-3x， 由DE∥OC，设直线DE的解析式为y=-3x+n， 将D（-6，2）代入可得：-3×（-6）+n=2， 解得：n=-16， ∴直线DE的解析式为y=-3x-16， 当y=0时，-3x-16=0， 解得：x=-， ∴E点坐标为（-，0）， ∴OE=， 在y=x+8中，当y=0时，x+8=0， 解得：x=-8， ∴A点坐标为（-8，0）， ∴OA=8， ∴AE=8-=， S四边形OCDE=S△AOC-S△AED = = =24- =． 解法二：在y=x+8中，当y=0时，x=-8， ∴A点坐标为（-8，0）， 又∵DE∥OC， ∴△ADE∽△ACO， ∴, ∴, ∴S四边形OCDE=S△AOC-S△AED. ∴四边形OCDE的面积为. 【解析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性