8.6.2直线与平面垂直第2课时 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 (第2课时) 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 α 互相垂直，记作 l⊥α. 平面 α 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 直线与平面垂直的定义 如果一条直线垂直一个面，这条线就垂直这个面内所有的直线. l ^ a 线面垂直的定义常这样使用： 复习导入 文字语言： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. (线线垂直线面垂直) m n P l α 线不在多，贵在相交！ 直线与平面垂直的判定定理 图形语言： 符号语言： 复习导入 1.平面的斜线 如果一条直线l和一个平面α相交但不垂直，这条直线l叫做这个平面α的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 斜线 斜足 α l A 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 2.射影 垂线 射影 垂足 O P 3.斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 斜线与平面所成角的范围是(0°,90°) 探究新知 4.线面所成角的范围： 规定：一条直线垂直于平面，我们说它所成的角是 角； 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它所成的角是 的角. 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? 直 0° [0°，90°] 思考：如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内任意一条不与直线AD重合的直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？ D α C A B 【最小角定理】斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角. 探究新知 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于______； AB1与平面ADD1A1所成的角等于_________； AB1与平面DCC1D1所成的角等于_________．  0° 45° 45° 例析 例析 例4.如图，在正方体-中， (1)分别写出下列直线与平面所成的角: ①直线与平面; ②直线与平面; ③直线与平面. 例析 例4.如图，在正方体-中， (2)求直线与平面所成的角． 解：连接，与相交于点，连接.设正方体的棱长为 ∵ ∴平面. ∴. 又∵ ∴平面. 例析 例4.如图，在正方体-中， (2)求直线与平面所成的角． ∴为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角. 在中，，， ∴. ∴. ∴直线与平面所成的角为. 观察：国旗所在的旗杆与地面都是垂直的，你能发现什么? 旗杆互相平行 探究新知 问题1：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？ A A1 B C D B1 C1 D1 问题2：一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有 什么位置关系？ 探究新知 11 问题3：如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b， 从理论上如何证明这个结论？ a b α 已知： 求证： 反证法证明命题的一般步骤： 否定结论 推出矛盾 肯定结论 经过同一点O的两直线b, b' 都垂直于α是不可能的，所以a∥b. 证明：假定b与a不平行. 设b∩α=O，经过点O作直线b'与直线a平行 ∵a∥b', a⊥α ∴b'⊥α O b' 探究新知 12 直线与平面垂直的性质定理 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 用符号语言可表述为： 线面垂直 线线平行 (揭示了平行与垂直之间的内在联系) a α b 探究新知 13 探究新知 思考1：在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论? 思考2：如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论? 14 例析 例2 已知：如右图，直线l平行于平面. 求证：直线l上各点到平面的距离相等. 例析 练习1 ：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD， ∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点， ∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD， ∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 空间距离 (1)点与面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点