8.3 正态分布-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

8.3 正态分布 一、正态曲线及其性质 1、正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3、正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4、正态曲线的特点： （1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1. （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5、正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． 6、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 二、正态分布的应用（3σ原则） 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 题型一 正态曲线的图象与性质 【例1】（2023·江苏·高二专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）（人A7.5练习） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（2023·高二课时练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）（人A7.5练习） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【变式1-3】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 题型二 利用正态分布的对称性求概率 【例2】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）若服从正态分布，且，则的值为______. 【变式2-1】（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知随机变量X服从正态分布，且，，则______． 【变式2-2】（2023春·山东青岛·高二校考期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）重庆市奉节县所产脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径X（单位：mm）服从正态分布，则果实横径在的概率为______.（附：若，则；.） 题型三 正态分布的实际应用 【例3】（2023春·河南开封·高二统考期中）某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ） A．3200 B．6800 C．3400 D．6400 【变式3-1】（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知某地区有名同学参加某次数学模拟考试（满分分），其中考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：①；②；③） A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B．的值越大，成绩不低于分的人数越少 C．若，则这次考试分数高于分的约有人 D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为 【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，20