聚焦概率与统计的核心考查-【小题狂刷】2023高考数学概率与统计专题特训

数学·概率与统计 1 聚焦概率与统计的核心考查 概率与统计是高考的必考内容,高考常设置1个 客观题和1个解答题,对概率与统计知识的应用进行 全面考查,其分值约为17分,约占总分的12%.下面对 其核心考点进行专题解读,希望能对同学们的复习备 考有所帮助和启示. 考点1 互斥与独立事件概率的综合计算 求解复杂事件概率的基本思路是,先运用集合的 观点和事件内部的联系,通过“分类”或“分步”,将较为 复杂的事件进行分解,转化为简单的互斥事件的和事 件或相互独立事件的积事件,然后运用相关的概率公 式去解决计算问题. 【例1】 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一 定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个 红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙 箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是 红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没 有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽 奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望. 【分析】 “顾客抽奖1次能获奖”包含“顾客抽奖1 次获一等奖”与“顾客抽奖1次获二等奖”两个子事件, 而这两个事件互斥且每次抽奖摸出的2个球的结果相 互独立,由此可用相关的概率公式计算获解. 【解析】 (1)记事件 A1={从甲箱中摸出的1个 球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球}, B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1 次获二等奖}, C={顾客抽奖1次能获奖}. 由题意,A1 与A2 相互独立,A1A2与A1A2 互斥, B1 与B2 互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C =B1+B2. 因为P(A1)= 4 10= 2 5 ,P(A2)= 5 10= 1 2 ,所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= 2 5× 1 2 = 1 5 , P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1 A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2) =P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2) = 2 5× 1- 1 2 æ è ç ö ø ÷+ 1- 2 5 æ è ç ö ø ÷× 1 2= 1 2. 故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+ P(B2)= 1 5+ 1 2= 7 10. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由 (1)知,顾 客 抽 奖1次 获 一 等 奖 的 概 率 为 1 5 ,所 以 X~B 3, 1 5 æ è ç ö ø ÷ . 于是P(X=0)=C03 1 5 æ è ç ö ø ÷ 0 4 5 æ è ç ö ø ÷ 3 = 64 125 , P(X=1)=C13 1 5 æ è ç ö ø ÷ 1 4 5 æ è ç ö ø ÷ 2 = 48 125 , P(X=2)=C23 1 5 æ è ç ö ø ÷ 2 4 5 æ è ç ö ø ÷ 1 = 12 125 , P(X=3)=C33 1 5 æ è ç ö ø ÷ 3 4 5 æ è ç ö ø ÷ 0 = 1 125. 故X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48 125 12 125 1 125 X 的数学期望为E(X)=3× 1 5= 3 5. 【点评】 不可能同时发生的两个事件A,B 叫做 互斥事件,它们至少有一个发生的事件为A+B,用概 率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算.若事件 A,B 满足P(A|B)=P(A),则称事件A,B 独立,即 事件B 的发生不影响事件A 发生的概率.它们同时发 生的事件为A·B,用概率的乘法公式 P(A·B)= P(A)·P(B)计算. 考点2 离散型随机变量及其分布列 随机变量及其分布列涵盖离散型随机变量分布列 的求法及其性质的应用,二项分布的判断与计算,条件 概率,正态分布及3σ原则等问题,其高考试题大多源 于教材的拓展题或变式题,只要我们抓纲固本,深刻理 解随机变量概率分布列的概念、性质,能借助排列组合 知识准确地求出随机变量的每个值对应的概率,牢固 掌握期望、方差公式,正确计算,就能从容应对高考. 【例2】 端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一 盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽 5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列 与数学期望. 【分析】 第(2)问先确定 X 的可能取值,并借助 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋