第08讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第08讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲） 题型目录一览 ①函数的奇偶性 ②函数奇偶性的应用 ③函数的周期性 ④函数的对称性 ⑤函数性质的综合应用 一、知识点梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 2.函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 3.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【常用结论】 1.奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 2.周期性技巧 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 4.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 二、题型分类精讲 真题刷刷刷 一、单选题 1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 四、双空题 12．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______． 题型一 函数的奇偶性 策略方法 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型训练】 一、单选题 1．函数的奇偶性是（　　） A．是奇函数，不是偶函数 B．是偶函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数 2．已知奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．若函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．函数为偶函数，当时，，则时，___________． 6．，若，则__________. 7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________. 三、解答题 8．已知函数 (1)求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性