7.2.2复数的乘、除运算 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数的乘、除运算 第七章 复 数 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的 分配律. 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？ 1 复数乘法的运算法则和运算律 提示　复数的乘法法则如下： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 问题 1 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想. 猜想： 对于任意z1，z2，z3∈C，有： (1)交换律： z1z2＝z2z1； (2)结合律： (z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)分配律： z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 问题2 提示　证明： 设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i. ∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i， z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i， 且a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1， b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，∴z1z2＝z2z1. (1)交换律： z1z2＝z2z1； 提示　证明： ∵(z1z2)z3＝[(a1＋b1i)(a2＋b2i)](a3＋b3i) ＝[(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i](a3＋b3i) ＝[(a1a2－b1b2)a3－(b1a2＋a1b2)b3]＋[(b1a2＋a1b2)a3＋(a1a2－b1b2)b3]i ＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i， 同理可证：z1(z2z3)＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i，∴(z1z2)z3＝z1(z2z3). (2)结合律： (z1z2)z3＝z1(z2z3)； 提示　证明：∵z1(z2＋z3)＝(a1＋b1i)[(a2＋b2i)＋(a3＋b3i)] ＝(a1＋b1i)[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i] ＝[a1(a2＋a3)－b1(b2＋b3)]＋[b1(a2＋a3)＋a1(b2＋b3)]i ＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i， z1z2＋z1z3＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)(a3＋b3i) ＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i＋(a1a3－b1b3)＋(b1a3＋a1b3)i ＝(a1a2－b1b2＋a1a3－b1b3)＋(b1a2＋a1b2＋b1a3＋a1b3)i ＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i， ∴z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. (3)分配律： z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝_____ 结合律 (z1z2)z3＝_______ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________ (ac－bd)＋(ad＋bc) z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 知识梳理 例1　计算下列各题. (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； 解　(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2 ＝1－i2＋4＋4i＋i2 ＝5＋4i. (2) (2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 两个复数代数形式的乘法运算 一般步骤 常用公式 ①首先按多项式的乘法展开； ②再将i2换成－1； ③然后再进行复数的加、减运算 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i. 跟踪训练1　(