7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念 7.1.1 第七章 复 数 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 自然数的产生 由于计数的需要，自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前. 1、2、3、4 ... 负数的产生 负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.负数概念最早产生于我国，三国时期的刘徽首先给出了它的定义. 负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾. 3-5=？ 分数的产生 由于测量的需要，产生了分数.早在古希腊时期，人类已经开始使用分子和分母表示分数. 分数的引入解决了在整数集中不能整除的矛盾. 5÷3=？ 分数的产生 销售额 3/5 第一季度 第二季度 第三季度 1 1 3 无理数的产生 无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数”. 无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾. 如果x2=2,则x=？ 3、新数系能解决旧数系中的矛盾. 2、原数集中的运算性质仍然成立； 1、增加新元素； 数系每次扩充的基本原则是什么 问题一 1 复数的相关概念 提示　为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1. 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 问题二 把 i 叫作虚数单位 i和我们之前学过的e和π一样，代表一个数 虚数的产生 约定 i 2=- 1， 则x2=-1有两个虚数根i，-i x2＋1＝0，x=? 例1 1.定义：我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做____ ，满足i2＝ . 2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 . a＋bi(a，b∈R) 虚数 单位 －1 实部 虚部 在中z＝a＋bi(a，b∈R)，实数a叫做复数z的实部， 实数b叫做复数z的虚部，而不是bi是虚部. 注意 知识梳理 3.数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做 . (2)表示：通常用大写字母 表示. 注意点： (1)i2＝－1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)a，b∈R. 复数集 C 知识梳理 注意 思考： 引入了虚数的概念后，数集之间的关系是什么样的？ 知识梳理 复数的分类 复数 实数 虚数 有理数 无理数 整数 分数 自然数 分数 非纯虚数 纯虚数 知识梳理 例1　 (1)下列命题中正确的是 A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i C.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D.实数集是复数集的真子集 √ a=-1不是纯虚数 复数不能比较大小 x＝±2时实部为零 解析 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数. 对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，A错误； 两个虚数不能比较大小，则B错误； 对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0， 此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则C错误； 显然，D正确. (2) 已知m∈R，复数z＝ ＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， ①z∈R； ②z是虚数； ③z是纯虚数. 解得m＝－3. 解得m＝0. (1)在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. (2)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R).特别注意z为纯虚数，则b≠0，且a＝0. (3)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解. 反思感悟 跟踪训练1(1)(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是 A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 C.若b＝0，则a＋bi为实数 B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1 D.i的平方等于1 解析　对于A，当b＝0时，a＋bi＝0为实数，故A错误； 对于B，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确； 对于C，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确； 对于D，i的平方为－1，故D错误.