专题09 空间点、线与面的位置关系（重难点突破）-【课后优辅导】2023年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题09 空间点、线与面的位置关系 一、考情分析 二、考点梳理 一、平面 1．平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分． 2．平面的画法 在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的 _______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 3．平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下： 点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa； 点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α； 直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα； 直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l． 二、平面的基本性质 1．三个公理 （1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． （2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面． 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 【名师提醒】 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 2．公理2的三个推论 （1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 三、空间两直线的位置关系 1．异面直线 （1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线． 即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα． （2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图： 2．空间两直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面． （1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点； （2）_______________——同一平面内，没有公共点； （3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点． 3．