专题08 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积（重难点突破）-【课后优辅导】2023年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积 一、考情分析 二、考点梳理 一、水平放置的平面图形的直观图 1．斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′= ，它们确定的平面表示水平面. （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 x′轴或y′轴的线段. （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来的 . 2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤 （1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°. （2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点. （3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图. 3．建立坐标系的原则 （1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为 ． （2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为 ；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为 ． （3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在 上． 4．常见平面图形的直观图 原图 直观图 二、中心投影与平行投影 1．投影的概念 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做 .其中，我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 . 2．中心投影 （1）概念 光由一点向外散射形成的投影，叫做 ,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子. （2）性质 ①中心投影的投影线相交于 . ②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越 . 例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同. 3．平行投影 （1）概念 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 ．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做斜投影．如图所示. 在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线. （2）性质 ①平行投影的投影线互相 . ②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全 的. ③当图形中的直线或线段不平行于投影线时： (ⅰ)直线或线段的平行投影仍是 ； (ⅱ)平行直线的平行投影是 的直线； (ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段 ； (ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ； (ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比 这两条线段的长度比. 三、空间几何体的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积. 2．棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和. （2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为： ，，. 3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积 （1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长，h为侧棱长). （2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高