专题10 排列与组合（重难点突破）-【课后优辅导】2023年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题10 排列与组合 一、考情分析 二、考点梳理 【排列】 1．排列的概念： 从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义： 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列 3．排列数公式及其推导： 由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴= 由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=， 求以按依次填个空位来考虑， 排列数公式： （） 说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数； （2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：（叫做n的阶乘） 另外，我们规定 0! =1 . 1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 【组合】 1．组合数公式的推导： （1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？ 启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下： 组 合 排列 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以，． 2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； ② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝． 3.组合数的公式： 或 规定: . 三、题型突破 重难点题型突破1 简单的排列问题 例1.（1）、（辽宁省部分重点中学协作体2023届高三下学期4月模拟数学试题）现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种. A．144 B．72 C．36 D．24 （2）、（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）3个男生3个女生排队接种流感疫苗，恰有两个女生排在一起的情况有______种（用数字作答） 【变式训练1-1】、（贵州省2022-2023学年高二下学期联合考试数学试题）一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（    ） A．120种 B．60种 C．40种 D．20种 【变式训练1-2】、（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）A、B、C、D、E五名同学站成一排合影，若A不站在两端，B和C相邻，则不同的站队方式共有____________种（用数字作答） 重难点题型突破2 简单的组合问题 例2．（1）、（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）小明有两盒中性笔，每盒都有8支（材质，外观完全相同）笔，他每次都在两盒中性笔中随机选取一盒，并从此盒中抽出一支笔使用，则他发现一盒笔用完时，另一盒恰有5支笔的概率为________. （2）、（2023·陕西宝鸡·统考二模）从甲，乙等五名同学中随机选3人参加社区服务工作，则甲，乙中至少有一人入选的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（湖南省邵阳市2023届高三三模数学试题）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________. 【变式训练2-2】、（河北省2023届高三适应性考试数学试题）甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（    ）种 A．6 B．10 C．18 D．36 重难点题型突破3 注意缺少“至多”或“最少” 例3．（1）、（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）现有16张不同的