2023年浙江省杭州市中考数学考前一月知识回顾卷05---23题压轴题精选

2023年浙江省杭州市中考数学考前一月知识回顾卷05 23题压轴题精选 编题者寄语：经过紧张的中考总复习，初中时代已然接近尾声。不少同学认为成绩已然成定局。其实不然，只要我们熟悉中考高频考点，不要在基础题中丢分，我们的数学成绩依然可以提升一个档次。再次，预祝全体杭州中考生考试顺利。 一、解答题(共100分 1．(本题10分)（2023·浙江杭州·统考一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)连结，如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 (3)见解析 【分析】（1）由为的直径，于点得，又由，得到，从而得到，即，即可得证； （2）连接，由（1）得：，，从而得到，则，设，则，在中，，即，即可得到答案； （3）连接交于，则，通过证明，得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由，即可得到答案． 【详解】（1）证明：为的直径，于点， ， ， ， ，即， ； （2）解：如图所示：连接， ， 由（1）得：， ， ， 为的直径，于点， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 的长为； （3）解：如图所示：连接交于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键． 2．(本题10分)（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图，在正方形中，E是上一点，连接．过点A作，垂足为F，经过点C、D、F，与相交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若正方形的边长为5，，求的正切值和的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，半径 【分析】（1）利用同角的余角相等证明，利用圆内接四边形的性质证明即可； （2）由可得，由可得，即可得到； （3）利用求出的正切值，再证明是直径，求出即可解决问题； 【详解】（1）∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵, ∴， ∴； （3）如图，连接． ∵正方形的边长为5，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴是直径， ∴的半径为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 3．(本题10分)（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图，在矩形中，对角线和交与点O，点M在边上，交对角线与点E，． (1)求证：； (2)设； ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）利用矩形对角线相等可得，利用可得，即可证明； （2）①由即可求出； ②由可得，得到，再证明，得到，即可得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ②连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，根据平行线得到是解题的关键． 4．(本题10分)（2022·浙江杭州·校考模拟预测）已知的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点F． (1)如图1，若，求线段的长． (2)如图2，若，求的正切值． (3)连结，，，若是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由知，得，根据知，从而得，即可知，利用可得答案； （2）连接，，由题意易证，则有，设，则，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （3）先求出、、所对圆心角的度数，从而求得、，从而根据三角形面积公式计算可得． 【详解】（1）解：连接， ， ，， 又， ， 即， ， ， ，， ∴， ， ， ， 则； ∴， ∴ （2）解：如图1，连接，， 为直径，， ，， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴； （3）解：如图2， 是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边， 、， 则， 解得：， 、， ， ， ， 则， ． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点． 5．(本题10分)（2023·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，的半径为，，点为上任意一点，则的最小值为 　． （2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值． 【答案】（1）