第五章 相交线和平行线 提升能力 　2022—2023学年人教版数学七年级下册章节复习讲义

第 五 章 相交线和平行线 提升能力 2022-2023学年人教版七年级下学期数学章节复习讲义 第一：例题解析 1、如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°． （1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度数； （2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数． （2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数． 【解答】解：（1）∵∠MON＝70°， ∴∠COD＝∠MON＝70°， ∴∠BOD∠COD， ∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°； （2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°， ∵∠COD＝∠MON＝70°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°， ∵∠AOD＝2∠BOD， ∴x+70＝2（3x﹣70）， 解得x＝42， ∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°， ∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°． 2、（1）【问题】 如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】 如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，进而可求解； （2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，结合PN∥CD可求解； （3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴CD∥PQ． ∴∠CFP+∠FPQ＝180° ∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°， 又∵PQ∥AB， ∴∠BEP＝∠EPQ＝25°， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠P， 理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD， ∴∠PEA＝∠NPE， ∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE， ∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE， ∵PN∥CD， ∴∠FPN＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P； （3）如图3，过点G作AB的平行线GH． ∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG， 又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴∠HGE＝∠AEG∠AEP，∠HGF＝∠CFG∠CFP， 同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP， ∴∠HGF（∠P+∠AEP）（α+∠AEP）， ∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（α+∠AEP）α∠AEP﹣∠HGEα． 第二：考点解读 本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。 作辅助线解决几何问题 做辅助线是解决几何问题的重要技能。不会辅助线，努力也枉然。 拐点问题是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系。 1、如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【解析】 根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1＋∠AOF＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠AOC，而通过∠AOF＝∠AOC-∠2，整理可得∠1＋∠3-∠2＝180°． 解：∵AB∥EF， ∴∠1＋∠AOF＝180°， ∵CD∥AB， ∴∠3＝∠AOC， 又∵∠AOF＝∠AOC−∠2=∠3-∠2， ∴∠1＋∠3-∠2＝180°． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键． 2、如图，直线l1//l2，，则_______ ． 【解析】 过∠2的顶点作l