专题18 角平分线四大模型在三角形中的应用-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题18 角平分线四大模型在三角形中的应用模型归纳 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA。 【模型分析】 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。 【模型分析】 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△AOB是等腰三角形。 【模型分析】 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 模型4 角平分线+平行线 如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。 【模型分析】 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 【典例分析】 【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】 【典例1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【变式1-1】（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A+∠C＝180°． 【变式1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段） 【典例2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数． 【变式2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【模型2 截取构造对称全等】 【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由． 【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的长． 【变式3-2】已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD． 【变式3-3】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC （1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝　 　； （2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为　 　，并给出证明． 【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】 【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE． 【变式4-2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E． （1）求∠EAC的度数； （2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明． 【变式4-3】如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C． 【模型4 角平分线+平行线】 【典例5】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系． （2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由． （3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由． 【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN＝7，则MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N， （1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明