专题14 线性回归直线与非线性回归直线方程-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题14 线性回归直线与非线性回归直线方程 【考点预测】 1、两个变量线性相关 (1)散点图：将样本中个数据点(i＝1,2，…，)描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2、回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程： ①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据,,． ②设所求回归方程为，其中是待定参数． ③由最小二乘法得 其中，是回归方程的斜率，是截距． 3、当经验回归方程并非形如(）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 建立非线性经验回归模型的基本步骤 （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； （2）由经验确定非线性经验回归方程的模型； （3）通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）； （4）按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； （5）消去新元，得到非线性经验回归方程； （6）得出结果后分析残差图是否有异常 ． 【典型例题】 例1．（2023·安徽滁州·高二统考期末）下列命题中正确的为（    ） 散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系； 经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； 线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越弱； 同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好 A． B． C． D． 例2．（2023·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·山东青岛·高二校考期中）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图. 对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·山东滨州·高二统考期中）有一散点图如图所示，在5个数据 中去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．残差平方和变小 C．变量x，y负相关 D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱 例5．（2023·江西抚州·高二金溪一中校联考期中）在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的样本相关系数如表所示，其中线性相关性最强的模型是（    ） 模型 模型1 模型2 模型3 模型4 相关系数 0.48 0.15 0.96 0.30 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 例6．（2023·陕西渭南·高二统考期末）2021年2月25日，中国自豪地向全世界宣布已经消除绝对贫困.在现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 6.9 7.3 7.6 8.4 8.8 9.2 9.9 (1)通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留2位小数） (2)求关于的线性回归方程； (3)利用（2）中的回归方程，预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入. 附：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 参考数据：，，. 例7．（2023·陕西渭南·高二统考期末）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至5月份销售的某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售单价元 9 9.5 10 10.5 11 销售量件 11 10 8 6 5 (1)由上表数据知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01） (2)求出关于的线性回归方程； (3