专题10 正方形中常考四大模型-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（浙教版）

专题10 正方形中常考四大模型模型归纳 【模型一：十字架-模型归纳】 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。 【模型二：对角互补-模型归纳】 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形， 【模型三：外角平分线模型】 【模型四：半角模型】 【典例分析】 【模型1 ：“十字架”模型】 【典例1】（2022秋•三元区期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： （1）△ADF≌△DCE； （2）AF⊥DE． 【变式1-1】（2022秋•盐津县期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G． （1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角； （2）线段AF与DE有怎样的位置关系，请判断并说明理由． 【变式1-2】（2022春•广阳区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E． （1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH； （2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长． 【变式1-3】（2022春•海淀区校级期中）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点， 过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N． （1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明； （2）连接BD交MN于点F． ①根据题意补全图形； ②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　 　． 【模型2 ：“对角互补”模型】 【典例2】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O． （1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系； （2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明． 【变式2-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°． 求证：CE＝DF． 【典例3】（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式3-1】（2021春•淮北期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数． 【变式3-2】（2021•杭州校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长． 【模型3 ：“外角平分线”模型】 【典例4】（春•双鸭山期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明； （2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明． 【变式4-1】（春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC＝2，则FC的长为　 　． 【变式4-2】（2021春•柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠