专题12 特殊平行四边形中的折叠问题（三大类型）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（浙教版）

专题12 特殊平行四边形中的折叠问题（三大类型）模型归纳 类型一：矩形中折叠问题 类型二：菱形中折叠问题 类型三：正方形中折叠问题解题思路 在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段长度中的适当运用。 【典例分析】 【类型一：矩形中折叠问题】 【典例1】（2021春•雨花区月考）小西在学完第十八章《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平． （2）再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN． 小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）： （3）将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下列问题： ①直接写出BE和BN的数量关系：　 　． ②求∠ABM的角度大小； ③求证：四边形BGHM是菱形． 【变式1-1】（2021•黔西南州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是 　　． 【变式1-2】（2021•徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8． （1）求证：△AEF是等腰三角形； （2）求线段FD的长． 【类型二：菱形中折叠问题】 【典例2】（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 　 　． 【变式2-1】（2021•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 　 　． 【类型三：正方形中折叠问题】 【典例3】（2019•黔东南州一模）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（　　） A． B．3 C． D． 【变式3-1】（鹿城区校级三模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的长是（　　） A．2 B．3 C．4.8 D．5 【变式3-2】（2021•牡丹江）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（　　） A．2 B．2 C．6 D．5 【夯实基础】 1．长方形纸片对边是互相平行的．将其折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝64°，则∠CAB的度数是（　　） A．53° B．58° C．63° D．68° 2．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 3．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 4．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　） A．1 B．2 C．2 D．4 6．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若∠AFB＝50°，则∠DFE＝　 　． 7．如图，一张矩形纸片，按照下面步骤进行折叠： 第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线A