专题11 特殊平行四边形中的最小值问题（三大类型）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（浙教版）

专题11 特殊平行四边形中的最小值问题（三大类型）模型归纳 类型一：矩形中最小值问题 类型二：菱形中最小值问题 类型三：正方形中最小值问题解题思路 【类型一 利用几何基本事实确定最值】 【基本事实1 垂线段最短】 垂线线段最短：如图1：直线l外有一定点A，点P是l上一动点，当AP⊥l时，线段AP最短。 【基本事实2 两点间，线段最短】 两点间，线段最短 根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC 当A,C,B三点在一条直线上时， 【类型二 利用轴对称变换确定最值】 线段和最小：如图2，A、B时直线m同侧的两个定点，P时直线m上一动点，作点A关于直线m的对称点A′，直线BA′交直线m于点P，此时PA+PB最小，等于BA′ 【典例分析】 【类型1 ：矩形中最小值问题】 【典例1】（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 　 　． 【变式1-1】（2020•北碚区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（秋•无为县期末）如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在　 　． 【类型2 ：菱形中最小值问题】 【典例2】如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点则AE长的最小值为（　　） A．4 B． C．5 D． 【变式2-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．5.5 【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（　　） A．. B． C．2 D．3 【变式2-3】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【考点2 两定点，一动点】 【典例3】（2021春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（2020春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（　　） A．4 B．2 C．2 D．8 【变式3-2】（2021•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【考点2 一定点，两动点】 【典例4】如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 【变式4-1】（2021春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　） A．2 B．3 C．2 D． 【变式4-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（　　） A． B． C．5 D． 【考点3 三条线段和最小值】 【典例5】如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F． （1）BD的长是　 　； （2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是　 　． 【变式5-1】（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC＝3，∠ADC＝120°，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 　 　． 【变式5-2】如图，已