专题16 全等三角形中手拉手模型综合应用-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题16 全等三角形中手拉手模型综合应用 模型归纳 类型一：等边三角形中的手拉手模型 类型二：等腰三角形中的手拉手模型 类型三：等腰直角三角形中的手拉手模型 类型四：作辅助线构造手拉手模型 类型：等边三角形手拉手 （1）如图，B、C、D三点共线，▲ABC和▲CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P （2） 记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N （2）连接MN （4）记AD、BE交点为P，连接PC： （5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60° （6） 连AE: 结论六：P点是▲ACE的费马点（PA+PC+PE值最小） 【典例分析】 【类型一：等边三角形中的手拉手模型】 【典例1】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论． 【变式1-1】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 【变式1-2】（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE． ①∠AEC的度数为 　　 ； ②线段AE、BD之间的数量关系为 　 　； （2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数． 【类型二：等腰三角形的手拉手模型】 【典例2】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°， ①求证：BD＝CE； ②∠BCE＝　 　； （2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β， ①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°； ②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【变式2-1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N． 证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE． 【变式2-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF． （1）如图1，若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合），证明：△ACF≌△ABD； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． 【类型三：直角三角形中的手拉手模型】 【典例3】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°． （1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°； （2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论； （3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC． 【变式3-1】如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE． 发现问题： 如图1，当点D在边BC上时， （1）请写出BD和CE之间的位置关系为 　BD⊥CE　，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：　 ． （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系