专题08 分式的加减法、乘除法-【万题库】2022-2023学年八年级数学下册专题复习挑战满分（北师大版）

专题08分式的加减法、乘除法 【要点归纳|典例专题】 1．分式的定义 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注意】①若B≠0，则有意义； ②若B=0，则无意义； ③若A=0且B≠0，则=0． 2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则 把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分． 【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式 分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则 （1）通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则 把两个或者几个分式通分： ①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分． 【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．最简公分母 几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算 （1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：． （3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方． 用式子表示为：为正整数，． （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 【典例专题】 1.代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.分式有意义的条件是（       ） A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0 3.函数的自变量x的取值范围是（ ） A．，且 B． C． D．，且 4.当时，下列分式没有意义的是（ ） A． B． C． D． 5.计算的结果是（ ） A．3 B． C．1 D． 6.计算的结果是（ ） A． B． C．1 D． 7.计算的结果是（ ） A． B． C． D． 8.的计算结果为（ ） A． B． C． D． 9.计算的结果为（ ） A．1 B． C． D． 10．分式化简后的结果为（ ） A． B． C． D． 11.要使分式有意义，x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 12.（ ） A．3 B． C． D． 13.计算的结果是（       ） A．1 B． C． D． 14.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 15.化简的结果是（       ） A．1 B． C． D． 16.若分式有意义，则x的取值范围是________． 17.若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 18.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 18.当a＝1时，分式的值是______． 19.计算：_________． 20.计算﹣＝_____． 21.在函数中，自变量x的取值范围是_______． 22.计算：的结果是____________． 23.化简： _________． 24．计算的结果是________． 25.已知，则代数式的值为_________． 26.若，则_________ 27.化简： ＝____________． 28.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 29.观察下列各式：， 根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）． 30.观察以下等式：