考点07对数函数（12种题型2个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

考点07对数函数（12种题型2个易错考点） 一、 真题多维细目表 考题 考点 考向 2022·北京·统考高考真题 对数的运算 对数的运算解决实际问题 2022·天津·统考高考真题 对数的运算 对数的运算性质的应用 二、命题规律与备考策略 【解题方法点拨】 1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法 （1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开； （2）将同底对数的和、差、倍合并； （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用； （4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1． 2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点 （1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． （2）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限． （3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系． 3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用 （1）比较对数式的大小： ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． （2）解对数不等式： 形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式． 三、 2022真题抢先刷，考向提前知 4．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 5．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 四、考点清单 一．对数的概念 1．对数的定义 如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a（a＞0且a≠1） logaN 常用对数 底数为10 lgN 自然对数 底数为e lnN 二．指数式与对数式的互化 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法） （5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 三．对数的运算性质 对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM； loga＝logaM． 四．换底公式的应用 换底公式及换底性质： （1）logaN＝ （a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）． （2）logab＝， （3）logab•logbc＝logac， （4）loganbm＝logab． 五．对数函数的定义 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 六．对数函数的定义域 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 七．对数函数的值域与最值 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 八．对数值大小的比较 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不