专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【核心素养】 1．考查二次函数的图象和性质，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 2.结合“三个二次”间的关系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法、恒成立问题求解，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养． 3.以多种知识内容为载体，考查应用不等式性质、一元二次不等式、二次函数的图象和性质、一元二次方程等解决问题的能力，凸显数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养． 知识点一 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 知识点二 一元二次不等式 1．概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点三 三个“二次”之间的关系 1．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． 2．三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点四 不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 知识点五 待定系数法的应用 1.待定系数法解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程． 常考题型剖析 题型一：求二次函数的解析式 【典例分析】 例1-1.（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【规律方法】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【变式训练】 变式1-1. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 题型二：二次函数的图象 例2-1.（2022秋·安徽合肥·高一中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．6 C． D．3 例2-2.（2022秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知函数的图像如图所示，则的图像可能是（    ） A． B． C． D． 例2-3.（2023·北京·高三专题练