球的外接和内切课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

与球有关的内切、外接问题 基础知识 01 2 (1)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π B．48πC．36π D．32π A 例1 球的截面圆 C 例1 直接法 02 6 一、正方体、长方体的外接球 1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 长方体的外接球 2、正方体的外接球：正方体的棱长为 ，外接球半径为R， 则 。内切球半径为2r=a,棱切球半径 正方体的外接球 内切球 棱切球 例2 C （2）一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为________， 内切球半径为________． 解析　设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r， 正方体的体对角线长即为外接球的直径，棱长即为内切球的直径， 例2 构造法 03 11 二、补体为正方体、长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2 图1 图2 （3）棱长为 正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图，正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ． 正四面体内切球半径为 ． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内。 如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 所以 （1）三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________． 解析　因为AB⊥BC，BC⊥CD， 构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径． 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝××BC×CD×AB＝×2×CD×2＝， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体， ∴AD＝2，∴R＝， 外接球体积为V＝πR3＝4π. 由条件进行构造 例3 D A C B 例3 （2）设是球面上的四点，且两两互相垂直，若，则三棱锥外接球的半径为 为 直锥直柱模型 04 17 二、直棱柱外接球的求法 -----汉堡模型 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意多边形） 三、直棱锥外接球的求法 1）将三角形ABC 所在面看作小圆面，作小圆的直径AD，连接PD，则PD为球的直径 四、正棱锥与侧棱相等外接球的求法 (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 B 例4 22 （2） 直三棱柱的各顶点都在同一球面上， 若，，则此球的表面积等于 . 例4 （3）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为(　　)A.π B.π C.π D．16π B 例4 圆锥圆柱柱模型 05 24 五、圆锥与圆柱外接球的求法 27 如图所示，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 设底面半径为，半高为 底面 侧面展开图为矩形 例4 内切球 06 28 六、棱锥内接球的求法 一般采用等体积法 【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。 30 正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则球的表面积与体积分别为 . 侧面斜高 根据等体积法得： 例5 即2R＝a,2r＝a， ∴R＝a，r＝. a　 4π $