第一章 微切口2　恒成立与能成立问题-【南方凤凰台】2024高考数学（小基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 微切口2　恒成立与能成立问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） 1 　　　(2022·南通模拟)当x∈R时，不等式x2－2x－1－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－2) C．(－∞，0] D．(－∞，0) 1 在实数集上恒成立问题 【解析】 　　　　方法一：由题意，当x∈R时，不等式x2－2x－1－a≥0恒成立，故Δ＝(－2)2＋4(1＋a)≤0，解得a≤－2，故实数a的取值范围是(－∞，－2]． 方法二：由题意，当x∈R时，a≤x2－2x－1恒成立，所以a≤(x2－2x－1)min．因为x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，所以a≤－2． A　 1 变式　(2022·南充期末)若对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12＜0恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．[－1，2) B．(－1，2] C．(－2，1) D．[－1，2] 【解析】 B　 　　　已知函数f(x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m 的取值范围为__________． 2 在某区间上恒成立问题 【解析】 2 变式　已知x2＋(2－a)x＋4－2a≥0对任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是_______________． 【解析】 (－∞，3]　 　　　已知关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围为_________________． 3 在某区间上有解问题 【解析】 　　　　问题等价于a＜x2－4x－2在区间(1，4)内有解，设f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，可得a＜f(x)max，x∈(1，4)，易得f(x)的值域为[－6，－2)，所以a＜－2． (－∞，－2)　 3 变式　若关于x的不等式x2－4x＋4a≥a2在区间[1，6]内有解，则a的取值范围为 (　　) A．[－2，3] B．[1，6] C．[－2，6] D．[3，6] 【解析】 　　　　由题可得x2－4x≥a2－4a在x∈[1，6]时有解，所以a2－4a≤(x2－4x)max，x∈[1，6]．设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[1，6]，当x＝6时，ymax＝12，所以a2－4a≤12，解得－2≤a≤6． C　 总 结 提 炼 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套精练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） 　　　　当a－2＝0，即a＝2时，则有－12＜0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a－2＜0，,Δ＝16(a－2)2＋48(a－2)＜0，)))解得－1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围是(－1，2]． 　　　　要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法： 方法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．当m＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，所以m＜，所以0＜m＜；当m＝0时，－6＜0恒成立，符合题意；当m＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0都符合题意．综上所述，m的取值范围是． 　 方法二：原不等式转化为m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，因为x2－x＋1＝＋＞0，所以m＜在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，x∈[1，3]，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可，所以m的取值范围是． 　　　　方法一：因为x2＋(2－a)x＋4－2a≥0对任意的x∈[2，＋∞)恒成立，所以a≤在x∈[2，＋∞)时恒成立．令x＋2＝t，则t≥4，a≤，t∈[4，＋∞)．令g(t)＝＋t－2，t≥4，由对勾函数可知，g(t)在[4，＋∞)上单调递增，所以g(t)min＝g(4)＝3，所以a∈(－∞，3]． 方法二：设f(x)＝x2＋(2－a)x＋4－2a，由题知Δ≤0或解得－6≤a≤2或2＜a≤3或a＜－6，所以a∈(－∞，3]． (1) 若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立，则满足若a＝0，则应单独验证是否符合题意． (2) 一元二次不等式在指定范围内恒成立，其本质是这个不等式的解集包含指定的范围． (3) 一元二次不等式恒成立问题若可以分离参数，也可转化为a＜f(x)或a＞f(x)对x在某个区间上的恒成立问题． (4) 有解问题，也就是