第七章 微切口12　空间几何体的内切球-【南方凤凰台】2024高考数学（小基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 微切口12　空间几何体的内切球 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） (1) 已知点O到直三棱柱ABC-A1B1C1各面的距离都相等，球O是直三棱柱ABC-A1B1C1的内切球，若球O的表面积为16π，△ABC的周长为4，则三棱锥A1-ABC的体积为 (　　) 柱体与其内切球 1 1 【解析】 【解析】 变式　 某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为______，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为_________． 【解析】 图2 图3 图2 (1) 在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，且SA＝3，AB＝4，AC＝5，若球O在三棱锥S-ABC的内部且与四个面都相切(称球O为三棱锥S-ABC的内切球)，则球O的表面积为 (　　) 2 锥体与其内切球 2 【解析】 (2) 棱长为a的正四面体ABCD的内切球的半径为______． 【解析】 变式　 【解析】 已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，那么其内切球的 半径为___________． 1．解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系． 2．求内切球的半径常用等体积法． 3．正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到正多面体任一面的距离． 4．正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合． 总 结 提 炼 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套精练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） A． B． C． D． 设直三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r．由题意可知球O的表面积为16π＝4πr2，解得r＝2，所以h＝4．又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4．如图，连接OA，OB，OC，OA1，OB1，OC1，可将直三棱柱ABC-A1B1C1分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的三棱锥，所以直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V＝S△ABCh＝ahr＋bhr＋chr＋2×S△ABCr，即4S△ABC＝(a＋b＋c)＋S△ABC，所以S△ABC＝4，所以三棱锥A1-ABC的体积为V＝×4×4＝． (2) 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_____． 设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，故＝＝． 　 如图(2)，过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为△MNG的中心．如图(3)，因为MN＝6，所以△MNG的内切圆半径r＝OH＝MH＝＝，即内切球的半径R＝，所以内切球的表面积S＝4πR2＝12π． 如图(2)，正三棱柱的高AA1＝2R＝2，所以OM＝MH＝2，所以AO＝＝＝，所以A到球面上的点的距离最小值为AO－R＝－． A． B． C． D． 因为SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BC，又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥SB，所以△SAB，△ABC，△SAC，△SBC均为直角三角形．设球O的半径为r，则VS-ABC＝(S△SAB＋S△CAB＋S△SAC＋S△SBC)·r，而VS-ABC＝·SA·S△ABC＝×3××3×4＝6，S△SAB＝S△CAB＝SA·AB＝6，S△SAC＝S△SBC＝×3×5＝，所以·r＝6，解得r＝，所以球O的表面积为S＝4πr2＝4π×＝． 方法一：如图，设AH⊥平面BCD，则H为△BCD的外心，可得外接球的球心在AH上．设外接球的球心为O，外接球的半径为R，则AO＝BO＝R．在△BCD中，可得BH＝a．在Rt△ABH中，AH＝＝a．在Rt△BHO中，BO2＝BH2＋OH2，即R2＝BH2＋(AH－R)2，所以R2＝＋，解得R＝a．因为内切球的球心与外接球的球心重合，所以内切球的半径r＝OH＝AH－AO＝a－a＝a． a　 方法二：如图，设AH⊥平面BCD，易知AH＝a．设内切球的球心为O，由于内切球的球心到各个面的距离相等，都为内切球的半径，设为r，所以VA-BCD＝VO-A