第七章 微切口11　空间几何体的外接球-【南方凤凰台】2024高考数学（小基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 微切口11　空间几何体的外接球 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） A．64π B．16π C．4π D．π 长方体模型(补形) 1 【解析】 1 B　 【解析】 A．2π B．3π C．4π D．5π D　 (3) 已知一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为 (　　) 【解析】 A　 变式　 【解析】 29π　 A．40π B．32π C．10π D．48π 2 直棱柱模型 2 【解析】 D　 变式　 【解析】 A．12π B．8π C．4π D．2π A　 (1) (鳖臑模型)已知在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2BC＝4，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是______． 3 侧棱与底面垂直的棱锥 3 【解析】 36π　 【解析】 60π　 变式　 【解析】 在三棱锥P-ABC中，设PA＝3，PB＝PC＝5，AB＝BC＝AC＝4，则它的外接球的表面积为 (　　) B　 1．补成长方体 (1) 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图(1)所示． (2) 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图(2)所示． 图(1) 图(2) 总 结 提 炼 (4) 若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图(4)所示． 总 结 提 炼 2．如图(5)，图(6)，图(7)，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上、下底面可以是任意三角形) 总 结 提 炼 总 结 提 炼 图(8) 总 结 提 炼 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套精练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） (1) 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为 (　　) 由题知，四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以外接球O的半径R＝＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π． (2) (鳖臑模型)已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝1，AC＝BC＝，则球O的表面积为 (　　) 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，故可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体．若P，A，B，C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上．设球O的半经为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R＝＝，从而S球O＝4πR2＝π(2R)2＝5π． A．π B．2π C．3π D．2π 如图，四面体BDMN是正四面体，棱长BD＝2，将其补形成正方体GBCD-MENF，则正方体GBCD-MENF的棱长GB＝BD＝，此正方体的体对角线长为，正四面体BDMN与正方体GBCD-MENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球的半径R＝，所以正四面体BDMN的外接球的体积为V＝πR3＝π·＝π． 在三棱锥P-ABC中，已知PA＝BC＝2，PB＝AC＝，AB＝PC＝5，则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积是______． 由题意知PA＝BC＝2，PB＝AC＝，PC＝AB＝5，将三棱锥P-ABC放到长方体中如图所示，可得长方体的三条面对角线分别为2，，5．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则＝2，＝，＝5，解得a＝4，b＝2，c＝3．因为长方体的体对角线长即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R，所以(2R)2＝a2＋b2＋c2⇒4R2＝29，故S球＝4πR2＝29π． 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在同一球面上，且AB＝2，AA1＝4，则该球的表面积为 (　　) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，分别取△ABC，△A1B1C1的中心D，D1，连接DD1，取DD1的中点O，易知DD1⊥底面ABC，且点O为该三棱柱的外接球的球心．易得OD＝DD1＝AA1＝2．连接OB，则外接球的半径R＝OB，连接BD并延长交AC于点E，则E为AC的中点，所以BE＝AB×sin 60°＝×2＝3，故BD＝BE＝2．易知OD⊥DB，由勾股定理得R＝＝2，于是外接球的表面积S＝4π×(2)2＝48π． 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在同一个球的球面上，若AC＝，AA1＝2，∠ABC＝，则该球的表面积为 (　　) 设上、下底面三角形的外接圆的圆心为O1，O2，则球心O在O1O2的中点处．如图，设球的半径为R，底面三角形的外接圆的半径为r，则由正弦定理可知2r＝＝＝2，即r＝．因为OO2＝O1O2＝AA1＝1，所以