第八章 微切口13　椭圆、双曲线离心率的求法-【南方凤凰台】2024高考数学（小基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 微切口13　椭圆、双曲线离心率的求法 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） 结合定义与几何性质求离心率 1 1 【解析】 A　 【解析】 【解析】 B　 (1) 已知一个椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，AF2的中 垂线交椭圆于点B，若左焦点F1在线段AB上，则该椭圆的离心率为_____． 2 焦点弦余弦定理与离心率 2 【解析】 【解析】 【解析】 1．①椭圆第一定义：|PF1|＋|PF2|＝2a； ②双曲线第一定义：||PF1|－|PF2||＝2a． 2．一般情况下，与一个焦点有关的长度，可利用第一定义转化为与另一个焦点的距离． 总 结 提 炼 3．焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如图： 可分别在两个三角形中各自用余弦定理，联立求解离心率． 总 结 提 炼 谢谢观赏 温馨提示： 请同学们记得完成《配套精练》上 对应的相关练习 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 · 数学（小基础版） (1) 设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，点Q在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且|PF1|＋|PQ|<5|F1F2| 恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为 (　　) A． B． C． D． 因为点Q在椭圆的内部，所以＋<1　①，而a2＝b2＋c2　②，由①②得a4<4b4，即a2<2b2，所以e＝<＝．因为|PF1|＋|PQ|<5|F1F2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2a－|PF2|＋|PQ|<10c，即|PQ|－|PF2|<10c－2a，因为|PQ|－|PF2|≤|QF2|＝，所以|PQ|－|PF2|≤|QF2|＝<10c－2a，所以a<4c，即e＝>，所以椭圆离心率的取值范围是． (2) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，虚轴的上端点为B，P为双曲线右支上的一个动点，若△PBF周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为 (　　) A． B． C． D． 如图，设双曲线的右焦点为E，则|BF|＝|BE|＝．因为|PB|＋|PE|≥|BE|，当且仅当B，P，E三点共线时取等号，则C△PBF＝|BF|＋|PB|＋|PF|＝|BF|＋|PB|＋|PE|＋2a≥|BF|＋|BE|＋2a＝2＋2a，由题意得2＋2a＝2a×4，解得e＝． (3) 已知双曲线的一个焦点为F1，过双曲线的另一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P，Q两点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于 (　　) A．－1 B． C．＋1 D．＋2 由双曲线的对称性可知，△PF1F2是以点F2为直角顶点，且∠PF1F2＝的直角三角形，则|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a．在Rt△PF1F2中，tan ∠PF1F2＝＝＝，所以e＝＝． 如图，设|BF2|＝t，由椭圆的定义可得|BF1|＝2a－t．因为AF2的中垂线交椭圆于点B，所以|AB|＝|BF2|＝t，则|AF1|＝|AB|－|BF1|＝2t－2a．又|AF1|＝＝a，所以2t－2a＝a，解得t＝，所以|AF2|＝|AF1|＝a，|BF1|＝，|BF2|＝，|F1F2|＝2c．在△AF1F2中，cos ∠AF1F2 ＝，所以cos ∠BF1F2＝－cos ∠AF1F2＝－．在△BF1F2中，由余弦定理得 cos ∠BF1F2＝＝－，所以－＝－，所以a2＝3c2，所以e＝＝，即椭圆的离心率为． (2) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|＝2|FB|，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则|BE|＋|BF|＝2a．因为点A，B关于原点对称，所以四边形EBFA为平行四边形．由|AF|＝2|BF|，得|BF|＝a，|BE|＝a．在△EBF中，cos ∠EBF＝＝＝－e2，所以cos ∠BFA＝－cos ∠EBF＝e2－．由·≤a2，得||||cos ∠BFA＝a×a≤a2，可得e2≤，又0<e<1，所以e∈． (3) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，分别过F1，F2作斜率为2的直线交C在x轴上半平面部分于P，Q两点．记△OPF1，△OQF2面积分别为S1，S2，若S2＝3S1，则双曲线C的离心率为_____． 如图，依题意得PF1∥QF2，由于S2＝3S1，|OF1|＝|OF2|＝c，sin ∠PF1O＝sin ∠QF2O，可得|F2Q|＝3|F1P|．设|F2Q|＝3|F1P|＝3m(m>0)，由双曲线的