第八章 微难点15　抛物线中的阿基米德三角形-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）配套精练

第八章 解析几何 微难点15　抛物线中的阿基米德三角形 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 配套精练 数学（提高版） 1 1．设定点F(0，1)，动点E满足以EF为直径的圆与x轴相切． (1) 求动点E的轨迹C的方程； 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 1．设定点F(0，1)，动点E满足以EF为直径的圆与x轴相切． (2) 设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线． 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 2．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为8，且|PF|＝9. (1) 求抛物线E的方程； 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 2．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为8，且|PF|＝9. (2) 若点M是抛物线E准线上的任意一点，过点M作直线n与抛物线E相切于点N，求证：FM⊥FN. 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2. (1) 求抛物线C的方程； 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2. (2) 设直线y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形． 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 4．如图，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.设线段AB的中点为N. (1) 求证：MN平行于y轴； 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 4．如图，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.设线段AB的中点为N. 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 配套精练 数学（提高版） 设点E的坐标为(x，y)，则EF的中点为圆心，设为M，则点M的坐标为，点M到x轴的距离等于，即＝，化简得x2＝4y，所以点E的轨迹C的方程为x2＝4y. 由(1)知，曲线C是以F为焦点的抛物线，其方程可化为y＝x2，设A，B两点的坐标分别为，.因为曲线方程为y＝x2，所以y′＝x，所以曲线在A，B处切线的斜率分别为k1＝x1，k2＝x2. 因为k1k2＝－1，所以x1·x2＝－1，所以x2＝－，所以A，B两点连线的斜率为kAB＝＝(x2＋x1)＝＝－＋x1，A，F两点连线的斜率为kAF＝＝－＋x1＝kAB，所以A，B，F三点共线． 由题意可知，抛物线的准线方程为y＝－，又点P的纵坐标为8，且|PF|＝9，所以8＋＝9，所以p＝2，故抛物线E的方程为x2＝4y. 设点M(m，－1)，N(x0，y0)，x0≠0，因为y＝x2，所以y′＝x，切线方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.令y＝－1，得m＝，所以M. 又F(0，1)，所以＝，＝(x0，y0－1)，所以·＝·x0－2y0＋2＝－＋2＝0，所以FM⊥FN. 记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M，由圆F与抛物线C的准线相切，且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径p，所以点M的坐标为，代入抛物线方程得p2＝4(p>0)，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y. 设A，B，由x2＝4y，可得y＝x2，则y′＝x，所以A，B两点处的切线斜率分别为k1＝x1，k2＝x2.由得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以k1k2＝x1x2＝－1，所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形． 由题意，设A，B，x1<x2，N(x3，y3)，M(x0，－2p).由x2＝2py，得y＝，则y′＝，所以kMA＝，kMB＝. 因此直线MA的方程为y＋2p＝(x－x0)，直线MB的方程为y＋2p＝(x－x0)，所以＋2p＝(x1－x0)①，＋2p＝(x2－x0)②，由①②得＝x1＋x2－x0，因此x0＝，即2x0＝x1＋x2＝2x3，也即x0＝x3，所以MN平行于y轴． 又|AB|＝4，所以p＝1或p＝2，因此所求抛物线方程为x2＝2y