第三章 微难点5　隐零点问题-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）配套精练

第三章 导数及其应用 微难点5　隐零点问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 配套精练 数学（提高版） 1 【解答】 综上所述，实数a的取值范围为[1，＋∞). 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 2．设函数f(x)＝ex－ax－2. (1) 求f(x)的单调区间； f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)的增区间为(－∞，＋∞)，无减区间．当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a；令f′(x)>0，得x>ln a，所以f(x)的减区间为(－∞，ln a)，增区间为(ln a，＋∞). 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 2．设函数f(x)＝ex－ax－2. (2) 若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． 又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，所以k的最大值为2. 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 4．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R). (1) 当a＝0时，求f(x)的单调区间； 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 4．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R). (2) 若f(x)≥0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 因为φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，x0)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)在x∈(1，x0)上单调递减．又f(1)＝0，所以当x∈(1，x0)时，f(x)<f(1)＝0，不满足题意． 综上，实数a的取值范围是(－∞，2]. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 配套精练 数学（提高版） 令h(x)＝x＋ln x，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为h＝－1<0，h(1)＝1>0，所以存在x0∈，使得h(x0)＝x0＋ln x0＝0. 当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，g′(x)<0，g(x)单调递减．所以g(x)max＝g(x0)＝，由x0＋ln x0＝0，可得x0＝－ln x0，则ex0＝，所以g(x)max＝g(x0)＝＝1.又a≥恒成立，所以a≥1. 1．(2022·长沙模拟节选)已知函数f(x)＝＋＋1，若对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求实数a的取值范围． 因为对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，即a≥恒成立． 令g(x)＝，则g′(x)＝. 由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0，即k<x＋(x>0)恒成立，令g(x)＝＋x(x>0)，得g′(x)＝＋1＝(x>0). 由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数．又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点).当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(α)＝＋α. 又因为x0∈(1，e)，h′(x0)＝0，所以ln x0－＝0，所以h(x0)＝x0ln x0＋2－x0＋＝＋2－x0＋＝2－x0＋>2－e＋>0，所以h(x)>0，所以f(x)>x－. 3．已知函数f(x)＝x ln x＋2.求证：f(x)>x－. 要证x ln x＋2>x－，即证x ln x＋2－x＋>0，令h(x)＝x ln x＋2－x＋(x>0)，h′(x)＝ln x－. 令m(x)＝ln x－，则m′(x)＝＋，当x>0时，m′(x)>0，所以h′(x)在(0，＋∞)上单调递增．h′(1)＝－2<0，h′(e)＝1－>0，所以存在唯一的x0∈(1，e)，使得h′(x0)＝ln x0－＝0.当x0∈(0，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(x0). 当a＝0时，f(x)＝(x＋1)ln x，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋＋1，设g(x)＝ln x＋＋1，则g′(x)＝－＝.令g′(x)>0，解得x>1；令g′(x)<0，解得0<x<1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)min