第八章 微难点14　圆锥曲线中的几个常用二级结论-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 微难点14　圆锥曲线中的几个常用二级结论 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 1 1 k1·k2＝e2－1(第三定义) 1 椭圆、双曲线共焦点 2 【解析】 如图．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2. (例2(1)) 答案：C 【解析】 设椭圆C1、双曲线C2的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，由椭圆、双曲线定义知|MF1|＋|MF2|＝2a1，且|MF1|－|MF2|＝2a2，则有|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2. 答案：A 1 焦点三角形 3 1 1 焦点弦问题 4 【解析】 如图，连接AF1，BF1.因为2|OB|＝|F1F2|，所以BF1⊥BF2.设|BF2|＝t，因为|AB|＝3|BF2|，所以|AF2|＝2t. (例4(2)) 1 切线问题 5 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 ①A，B为椭圆＋＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点P(不同于A，B两点)与椭圆上A，B两点连线的斜率之积为定值－； ②A，B为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，双曲线上任意一点P(不同于A，B两点)与双曲线上A，B两点连线的斜率之积为定值. 例1　(1) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)上关于原点对称的两点M，N，P是椭圆上任意一点且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1·k2≠0，|k1|＋|k2|的最小值为1，则 椭圆的离心率为______. 【解析】 因为|k1|＋|k2|≥2，|k1|＋|k2|的最小值为1，所以2＝1，所以2＝1，所以e＝＝. (2) 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)关于原点对称的两点为A，B，P是双曲线上除A，B外的任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若|k1|＋|k2|的最 小值为1，则双曲线的离心率为______. 【解析】 因为|k1|＋|k2|≥2，|k1|＋|k2|的最小值为1，所以2＝1，所以2＝1，所以e＝＝. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则＋＝1. 例2　(1) 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2＝，则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为(　 　) A. e1＋e2＝1 B. e＋e＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，所以化简得3a＋a＝4c2，该式变成＋＝1. (2) (2022·扬州期末)已知F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为(　 　) A. B. C. 2 D. 3 在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos∠F1MF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，整理得4c2＝a＋3a，于是得4＝＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即e2＝e1时取“＝”，从而有e1e2≥，所以e1e2的最小值为. ①如图(1)，P是椭圆＋＝1(a>b>0)上异于长轴端点的一点，F1，F2分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则S△PF1F2＝b2tan，离心率e＝. ②如图(2)，P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的一点，F1，F2分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则S△PF1F2＝，离心率e＝. 例3　(1) 已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别为左、右焦点，若1·2＝0，tan∠PF1F2＝，则椭圆的离心率为______. 【解析】 因为tan∠PF1F2＝，1·2＝0，所以sin∠PF1F2＝，sin∠PF2F1＝，所以e＝＝＝. (2) 已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且1·2＝0，则△PF1F2的面积为_____