第八章 第43讲　第4课时　圆锥曲线中的定值问题-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 第43讲　圆锥曲线的综合应用 第4课时　圆锥曲线中的定值问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 研题型·素养提升 2 1 探究定值 举题说法 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 求定值问题常见的方法有两种： (1) 从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； (2) 直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式代用消参：找到两个参数之间的等式关系F(k，m)＝0，用一个参数表示另外一个参数k＝f(m)，即可代用其他式子，消去参数k. ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：y－2＋kg(x)＝0，只要因式g(x)＝0，就和参数k没什么关系了，或者说参数k不起作用． 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 2 探究定直线 研题型 · 素养提升 (2) 求证：点G在定直线上． 研题型 · 素养提升 点在定直线上的问题，往往所求直线平行于坐标轴，要求定直线，实质是判定点的横坐标或纵坐标为定值． 研题型 · 素养提升 随堂内化 研题型 · 素养提升 【解答】 由(1)知，C(－2,0)，D(2,0)，设直线CM：y＝k(x＋2)，N(x1，y1)． 研题型 · 素养提升 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 例1　(2023·南通海安期初)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (1) 求椭圆E的方程； 【解答】 由椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，可知＝，2b＝2，则1－＝，所以a2＝4，故椭圆E的方程为＋y2＝1. (2) 过点M(－4,0)且斜率不为0的直线l与E自左向右依次交于点B，C，点N在线段BC上，且＝，P为线段BC的中点，记直线OP，ON的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 【解答】 由题意可知直线l的斜率一定存在，故设直线l的方程为y＝k(x＋4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，N(x3，y3)，P(x0，y0)，联立可得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－4＝0，Δ＝16(1－12k2)>0，所以0<k2<， 则x1＋x2＝，x1x2＝，所以x0＝，y0＝k(x0＋4)＝，所以P. 又＝，所以＝，解得x3＝＝＝－1，y3＝3k，从而N(－1，3k)，故k1·k2＝·＝－× (－3k)＝，即k1k2为定值． 备选　(2022·潮州期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切． (1) 求椭圆C的标准方程； 【解答】 由离心率为，得＝，即c＝a.又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，所以c＝2，b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2) 已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【解答】 假设存在，设E(m,0)，联立消去y并整理得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，Δ＝144k4－4(1＋3k2)(12k2－6)＝24(k2＋1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝. 2＋·＝·(＋)＝·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋4k2＋m2＝(k2＋1)－(2k2＋m)＋4k2＋m2＝， 要使上式为定值，即与k无关，则应3m2－12m＋10＝3(m2－6)，即m＝，此时·＝m2－6＝－为定值，所以在x轴上存在定点E，使得2＋·为定值－. 例2　(2023·南京六校联合体)已知椭圆C：＋＝1的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，3)且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于M，N两点，直线BM与AN交于点G. (1) 设AN，BN的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值； 【解答】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又A(0,2