第八章 第43讲　第3课时　圆锥曲线中的定点问题-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 第43讲　圆锥曲线的综合应用 第3课时　圆锥曲线中的定点问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 研题型·素养提升 2 【解答】 由已知可得，|PN|＝|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝8x. 1 直线过定点 例1　(2022·汕尾期末)已知点M为直线l1：x＝－2上的动点，N(2,0)，过M作直线l1的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C. (1) 求曲线C的方程； 举题说法 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 求解直线过定点问题常用方法： (1) “特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2) “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3) 求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b来证明． 一般解题步骤：①斜截式：设直线方程y＝kx＋m，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到k和m的关系：m＝f(k)，等式代入消参，消掉m. ③参数无关找定点：找到和k没有关系的点． 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 又PQ的方程为(x2－x1)y＝(y2－y1)x＋x2y1－x1y2，所以PQ的方程为(x2－x1)y＝(y2－y1)x＋3(y1－y2)． 令y＝0，解得x＝3，所以PQ过定点M(3,0)，所以d≤|AM|＝2，即d的最大值为2. (2) 设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值． 研题型 · 素养提升 2 圆过定点 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 综上可得，以AB为直径的圆恒过x轴上的定点Q(2,0)，m＝2. 研题型 · 素养提升 随堂内化 研题型 · 素养提升 (2) 设线段AB，CD的中点分别为E，F，O为坐标原点，求证：直线EF过定点． 【解答】 由题意知直线l1，l2的斜率都存在且都不为零，由(1)知M(0,2)，设直线AB：y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2－4kx－8＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4，所以AB的中点为E(2k,2k2＋2)． 研题型 · 素养提升 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 (2) 设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且·＝－16，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标． 【解答】 设直线AB的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y2－8ty－8m＝0，Δ＝(－8t)2－4(－8m)＝32m＋64t2>0，y1＋y2＝8t，y1y2＝－8m， ·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＋y1y2＝(1＋t2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋m2＝(1＋t2)·(－8m)＋mt·8t＋m2＝m2－8m＝－16，解得m＝4，所以直线AB过定点(4,0)． 备选　(2022·盐城一模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为，离心率e＝. (1) 求双曲线C的方程； 【解答】 由题意可得又c2＝a2＋b2，解得a2＝1，b2＝，所以双曲线C的方程为x2－2y2＝1. 【解答】 由(1)可知A(1,0)，由题意可知kAP·kAQ＝－1，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x－2y＝1，x－2y＝1，所以kAP＝＝，kAQ＝＝， 则·＝－1，·＝－1，所以x2y1＋2x1y2＝2y2－y1，y2x1＋2y1x2＝2y1－y2，作差可得x2y1－x1y2＝3(y1－y2)． 例2　(2022·揭阳期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，点P在C上，且△PF1F2面积的最大值为. (1) 求椭圆C的方程； 【解答】 由椭圆C的焦距为2，可得2c＝2，即c＝.设点P的纵坐标为yP，△PF1F2的面积S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|＝|yP|，其中|yP|≤b，根据△PF1F2面积的最大值为，可得b＝1.由椭圆的性质可得a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.