第八章 第43讲　第2课时　圆锥曲线中的最值与范围问题-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 第43讲　圆锥曲线的综合应用 第2课时　圆锥曲线中的最值与范围问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 研题型·素养提升 2 1 最值问题 举题说法 研题型 · 素养提升 【解答】 由题可知直线l1的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为x＝ty－3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)， 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有： (1) 函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或函数单调性． (2) 方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值． (3) 不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明． 研题型 · 素养提升 (2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1) 求抛物线C的方程； 研题型 · 素养提升 (2) 设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 2 范围问题 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系． 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 随堂内化 (第1题) 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 (1) 求椭圆C的标准方程； 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 素养提升 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 例1　(2022·广州二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4. (1) 求椭圆C的方程； 【解答】 由题可得2b＝4，e＝＝＝，所以a＝2，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2) 过点P(－3,0)作两条相互垂直的直线l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足＝，直线l2交y轴于点R，求△PQR面积的最小值． 由可得(t2＋2)y2－6ty＋1＝0，由Δ＝36t2－4(t2＋2)＝32t2－8>0，可得t>或t<－，所以y1＋y2＝，y1y2＝. 由＝及P，A，Q，B四点共线，知＝，所以y0＝＝＝，则|PQ|＝·|y0|＝. 因为l1和l2相互垂直，则l2的方程为x＝－y－3，令x＝0，得y＝－3t，所以R(0，－3t)，|PR|＝|3t|＝3，所以△PQR面积为S＝|PQ||PR|＝··3＝＝≥1，当且仅当|t|＝，即|t|＝1>时等号成立，所以△PQR面积的最小值为1. 变式 【解答】 抛物线的准线方程为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. 【解答】 设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1，由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4. 由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，所以kAB＝＝＝. 又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，所以kAB＝tanβ＝＝，若要使α－β最大，则β∈，设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan(α－β)＝＝＝≤＝，当且仅当＝2k，即k＝时，等号成立，所以当α－β最大时，kAB＝. 设直线AB：x＝y＋n，代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，Δ>0，y3y4＝ －4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，所以直线AB：x＝y＋4. 例2　已知双曲线E：－＝1的离心率为e，点A的坐标是(0,2)，O为坐标原点． (1) 若双曲线E的离心率e∈，求实数m的取值范围； 【解答】 a＝，b＝，c＝，e＝＝