第八章 第43讲　第1课时　圆锥曲线中的求值与证明问题-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 第43讲　圆锥曲线的综合应用 第1课时　圆锥曲线中的求值与证明问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 研题型·素养提升 2 1 求值问题 举题说法 (例1) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 求值问题即是根据已知条件列出方程(组)，通过解方程求出对应的未知量． 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 2 证明问题 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 证明问题主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．解决证明问题，主要根据直线与圆锥曲线的性质、位置关系，通过相关性质的使用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行解答． 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 随堂内化 (第1题) 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 (1) 求椭圆C的标准方程； 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 (2) 求证：∠MFN＝2∠PFN. 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 素养提升 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 例1　(2022·新高考Ⅱ卷)已知椭圆＋＝1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则直线l的方程为______________________. 【解析】 如图，令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，所以－＋－＝0，即＋＝0，所以＝－，即kOE·kAB＝－. 设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0得y＝m；令y＝0得x＝－，即M，N(0，m)，所以E，即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)． 又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 变式 (2022·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，右顶点为A，右焦点为F，＝. (1) 求椭圆的离心率e； 【解答】 ＝＝＝⇒4a2＝3(b2＋a2)⇒a2＝3b2，故离心率为e＝＝＝. (2) 已知直线l与椭圆有唯一公共点M，直线l交y轴于点N(异于M)，若|OM|＝|ON|，且△MON的面积为，求椭圆的标准方程． 【解答】 由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2，易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋(3m2－a2)＝0，由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0⇒3m2＝a2(1＋3k2)①，xM＝－，yM＝kxM＋m＝. 由|OM|＝|ON|可得m2＝②，由S△OMN＝可得|m|·＝③，联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6，故椭圆的标准方程为＋＝1. 例2　(2023·邯郸期初摸底)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为M，N，△NF1F2的面积为，四边形MF2NF1的四条边的平方和为16. (1) 求椭圆C的方程； 【解答】 由△NF1F2的面积为，得×2c×b＝，又四边形MF2NF1的四条边的平方和为16，所以a2＝4，b2＝3，c2＝1或a2＝4，b2＝1，c2＝3，即椭圆C的方程为＋＝1或＋y2＝1. (2) 若a>b>1，斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点H在直线x＝上，求证：线段AB的垂直平分线与圆x2＋y2＝恒有两个交点． 【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于a>b>1，得椭圆C的方程为＋＝1，设直线l的方程为y＝kx＋m，当斜率k＝0时，线段AB的中点H在y轴上，不在直线x＝上，故k≠0. 由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝－48(m2－4k2－3)>0，得m2<3＋4k2，x1＋x2＝－. 设线段AB的中点H(x0，y0)，得x0＝－＝，即3＋4k2＝－8km， 所以y0＝kx0＋m＝－，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋＝－， 即y＝－，故线段AB的垂直平分线恒过点. 因为2＋02＝<，故点在圆x2＋y2＝内，所以线段AB的垂直平分线与圆x2＋y2＝恒有两个交点． 1. (2022·东莞期末)已知点A为椭圆C：＋＝1(a>b>0