第一章 微难点1　多变量最值问题-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 微难点1　多变量最值问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 1 代入减元 1 3 2 “1”的代换 B 3 双换元 4 两次用基本不等式 4 4 多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点．解决多元变量最值问题的常见求解方法有： 1. 消元法：既然是多“元”，那么基本思路自然是减少变量(减元)，往往是通过消元，将多元问题转化为一元或二元问题，再用不等式或函数方程知识求解．消元的方法主要是利用等量关系消元，也有利用不等量关系进行消元的，有的问题甚至还要进行放缩消元． 2. 换元法：面对一个形式复杂或不易发现思路的问题，可以尝试整体换元，有的是给两个分母分别换元，有的是把某一个整体结构换成一个元，有时换元后还要进行二次、三次换元，再利用基本不等式或函数的单调性解决问题．但换元一定要注意前后变量的等价性，及时注明新元的范围． 3. 常值代换法：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，以达到解题的目的． 4. 两次用基本不等式：当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性． 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 例1　设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为______. 【解析】 由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)，则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号． 把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1. 变式 设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为______. 【解析】 因为x－2y＋3z＝0，所以y＝，所以＝. 又x，z为正实数，所以由基本不等式得≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”，故的最小值为3. 例2　已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为__________. 【解析】 由ab＝得b＝，又a，b∈(0,1)，故<1,4a－1>0. ＋＝＋＝＋＝＋＋2＝＋＋2＝2＋2＝[(4a－1)＋(4－4a)]＋2＝＋2≥(3＋2)＋2＝4＋，当且仅当＝，即a＝时取等号． 4＋ 变式 已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　 　) A. B. C. 2 D. 3 【解析】 由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， 所以＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥×(5＋4)＝，当且仅当x＝，y＝时等号成立． 例3　若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为______. 【解析】 2x2＋xy－y2＝(x＋y)(2x－y)＝1，令2x－y＝t，则x＋y＝，解得x＝，y＝， 代入得＝＝＝f(t)． 若t－＝0，则f(t)＝0；若t－≠0，则f(t)＝. 因为＋≥2或＋≤－2，所以f(t)∈∪. 综上所述，f(t)∈，所以原式的最大值为. 答案： 变式 已知x，y为正实数，则＋的最大值为______. 【解析】 令2x＋y＝m，x＋2y＝n，则x＝，y＝，且m>0，n>0， 因此＋＝＋＝＋＝－≤－2＝，当且仅当＝时取等号，则＋的最大值为. 例4　已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为______. 【解析】 依题意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当即时取等号． 因此，＋＋的最小值为4. 变式 已知a>b>0，那么a2＋的最小值为______. 【解析】 由a>b>0，得a－b>0，所以b(a－b)≤2＝，所以a2＋≥a2＋≥2 ＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4. $