第一章 备选微难点　双变量任意与存在问题-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 备选微难点　双变量任意与存在问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 【解答】 因为对∀x1∈[－1,8]，∃x2∈[－1,8]，使f(x1)＝g(x2)成立，所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集．由于当x∈[－1,8]时，有f(x)∈[0,4]． ①当a＝0时，g(x)＝2，此时不成立； 1 相等性问题 综上所述，a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 　　　已知函数f(x)＝x2，x∈[－2,2]和g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围． 【解答】 由题知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝2－x－m＋1.对任意x1∈[－1,3]，任意x2∈[0,2]都有f(x1)≥g(x2)成立，知f(x1)min≥g(x2)max. 因为f(x)在[－1,3]上单调递增，所以f(x1)min＝f(－1)＝0.又因为g(x)在[0,2]上单调递减，所以g(x2)max＝g(0)＝2－m，所以有0≥2－m，即m≥2，故m的取值范围为[2，＋∞)． 2 不等性问题 例1　已知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝2－x－m＋1. (1) 若对任意x1∈[－1,3]，任意x2∈[0,2]都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围． 【解答】 由题知函数f(x)＝x3＋1，g(x)＝2－x－m＋1.对任意x2∈[0,2]，总存在x1∈[－1,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，知f(x1)max≥g(x2)max，所以有f(3)≥g(0)，即28≥2－m，m≥－26，所以m的取值范围为[－26，＋∞)． (2) 若对任意x2∈[0,2]，总存在x1∈[－1，3]使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围． 解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系或两个函数最值之间的关系． 1. 相等问题 (1) ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)，则两个函数的值域的交集不为空集； (2) ∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)，则f(x)的值域⊆g(x)的值域． 2. 不等问题 (1) ∀x1∈D，∃x2∈E，使得 f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x1)max<g(x2)max； (2) ∀x1∈D，∃x2∈E，使得 f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x1)min>g(x2)min； (3) ∀x1∈D，∀x2∈E，f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x1)max<g(x2)min； (4) ∃x1∈D，∃x2∈E，使得 f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x1)min<g(x2)max. 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 例1　(1) 已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，8]，函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1,8]，若对∀x1∈[－1,8]，∃x2∈[－1,8]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． ②当a>0时，g(x)∈[2－a,8a＋2]，故[0,4]⊆[2－a,8a＋2]，因此解得a≥2； ③当a<0时，g(x)∈[8a＋2,2－a]，故[0,4]⊆[8a＋2,2－a]，因此解得a≤－2. (2) 已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈及x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围． 【解答】 由题意易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分． 先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>， 所以要使两个值域有公共部分，则k的取值范围是. 【解答】 当x1∈[－2,2]时，有f(x1)∈[0,4]，当x0∈[－2,2]时，有g(x0)∈ [－2|a|－1,2|a|－1]．由题意可得[0,4]⊆[－2|a|－1,2|a|－1]，则有解得a∈∪. 变式 变式 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，求实数a的取值范围． 【解答】 依题意知f(x1)max≤g(x2)max.因为f(x)＝x＋在上单调递减，所以f(x)max＝f＝. 又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. $