第三章 第14讲　第2课时　极值与最值-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第三章 导数及其应用 第14讲　利用导数研究函数的性质 第2课时　极值与最值 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 研题型·素养提升 2 1 利用导数研究函数的极值 例1　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋a2，讨论函数f(x)在区间[0,2]上的极值． 举题说法 研题型 · 素养提升 求函数的极值或极值点的步骤： (1) 求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域； (2) 求方程f′(x)＝0的根； (3) 检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 研题型 · 素养提升 (1) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； 研题型 · 素养提升 (2) 求函数f(x)的极值． 当a>0时，令f′(x)>0，则x>lna，所以f(x)在(lna，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，则x<lna，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且f(lna)＝lna，但是无极大值． 综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值． 研题型 · 素养提升 2 由函数的极值求参数范围 B 研题型 · 素养提升 C 研题型 · 素养提升 已知函数极值点或极值求参数的两个要领： (1) 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2) 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 3 利用导数研究函数的最值 例3　已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数． (1) 当a＝－1时，求f(x)的最大值； 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数， 在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝－1，所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.  研题型 · 素养提升 (2) 若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 故实数a的值为－e2. 研题型 · 素养提升 1. 利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤： (1) 求函数在(a，b)内的极值． (2) 求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)． (3) 将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2. 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 研题型 · 素养提升 (1) 判断函数y＝g(x)的单调性； 当a≤0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)内为减函数． 研题型 · 素养提升 (2) 若x∈(0，e](e≈2.718)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 研题型 · 素养提升 1. 函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1)(　 　) A. 有最大值，但无最小值 B. 有最大值，也有最小值 C. 无最大值，也无最小值 D. 无最大值，但有最小值 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解析】 f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．因为－1<x<1，所以x2<1，所以3(x2－1)< 0，即f′(x)<0，所以f(x)是(－1,1)上的减函数，f(1)<f(x)<f(－1)，故f(x)在－1<x<1时既无最大值，也无最小值． 随堂内化 C 研题型 · 素养提升 2. 函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是(　 　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 A 研题型 · 素养提升 3. 函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　 　) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 D 研题型 · 素养提升 4. 求函数f(x)＝lnx－x2在(0，a](a>0)上的最大值. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 研题型 · 素养提升 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 研题型 · 素养提升 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 综上，当a∈(－∞，－3]∪[0，＋∞)时，f(x)在[0,2]上无极值；当a∈(－3,0)时