第三章 第14讲　第1课时　导数与函数单调性-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第三章 导数及其应用 第14讲　利用导数研究函数的性质 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 链教材·温故知新 1. 若函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　 　) (第1题) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】 由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知，函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个． 激活思维 A 链教材 · 温故知新 D 链教材 · 温故知新 3. (人A选必二P94练习2)证明不等式：x－1≥lnx，x∈(0，＋∞)． 【解答】 由题设，要证x－1≥lnx，只需证x－1－lnx≥0即可． 链教材 · 温故知新 4. (人A选必二P95例7)给定函数f(x)＝(x＋1)ex. (1) 判断函数f(x)的单调性，并求f(x)的极值； 【解答】 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝(x＋1)′ex＋(x＋1)(ex)′＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2.  当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 链教材 · 温故知新 (2) 画出函数f(x)的大致图象； 链教材 · 温故知新 (3) 求方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数． 链教材 · 温故知新 1. 函数的单调性与导数的关系 知识聚焦 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内____________ f′(x)<0 f(x)在(a，b)内____________ f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是____________ 单调递增 单调递减 常数函数 链教材 · 温故知新 2. 利用导数求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1) 求函数y＝f(x)的定义域； (2) 求导函数f′(x)； (3) 解f′(x)<0或f′(x)>0； (4) 写出结论． 3. 求函数极值的步骤 (1) 求导数f′(x)． (2) 求方程f′(x)＝0的所有实数根． (3) 观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．若f′(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f′(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点． 链教材 · 温故知新 4. 求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 (1) 求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2) 将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 链教材 · 温故知新 第1课时　导数与函数单调性 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 12 研题型·素养提升 13 【解析】 由题可知f(x)的定义域为R，则f′(x)＝6x＋6－6ex＝6(x＋1－ex)，令g(x)＝x＋1－ex，则g′(x)＝1－ex，x∈R.当x∈(－∞，0)时，g′(x)>0；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，则g(x)的最大值为g(0)＝0，故g(x)≤0恒成立，故f′(x)≤0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递减，即函数f(x)的减区间为(－∞，＋∞)． 1 求函数的单调区间 例1　(1) 已知f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5，那么函数f(x)的减区间为(　 　) A. (1，＋∞) B. (ln3，＋∞) C. (－∞，ln3) D. (－∞，＋∞) 举题说法 D 研题型 · 素养提升 【解析】 由已知得y′＝x′sinx＋x(sinx)′＋(cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， (2) 下列区间是函数y＝xsinx＋cosx的减区间的是(　 　) B 研题型 · 素养提升 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或 “和”隔开． 研题型 · 素养提升 【解析】 因为f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x－2)ex，所以由f′(x)>0，解得x>2，因此，函数f(x)＝(x－3)ex的增区间是(2，＋∞)．