第七章 微难点13　立体几何中的动态问题——动点、截面-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 微难点13　立体几何中的动态问题——动点、截面 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 1 动点问题 例1　(1) (多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD1，点E是棱CD上的一个动点，下列命题中的真命题是(　 　) A. 三棱锥B－AEC1的体积恒为定值 B. 存在唯一的点E，使得截面三角形AEC1的周长取得最小值 C. 不存在点E，使得BD1⊥平面AEC1 D. 若点E满足CE>DE，则在棱DD1上存在相应的点G，使得A1G∥平面AEC1 (例1) 【解析】 对于A，由CD∥AB可知CD∥平面ABC1，则点E到平面ABC1的距离为定值，又底面△ABC1的面积为定值，故三棱锥E－ABC1的体积为定值，由等体积法可判断三棱锥B－AEC1的体积为定值，故A正确． 对于B，如图(1)，将侧面DCC1D1翻折到与底面ABCD同一平面，得矩形DCC2D2，连接AC2，与CD交于点E，即为周长最小时的E点，故B正确． 图(1) 对于C，如图(2)，连接BD，在底面ABCD内过点A作AE⊥BD，交CD于点E，又由长方体可知DD1⊥平面ABCD，则DD1⊥AE.由DD1∩BD＝D可得AE⊥平面BDD1，则BD1⊥AE.连接BC1，由AB＝AD1可知四边形ABC1D1是正方形，则BD1⊥AC1.因为AE∩AC1＝A，则BD1⊥平面AEC1，故C错误． 图(2) 图(3) 答案：ABD (变式) 易知BD1⊥平面AB1C，因为平面AB1C与平面PAM不平行，所以BD1与平面PAM不垂直，故C错误． 当点P与点C1重合时，平面PAM为平面C1AM， BB1∥CC1，若BB1∥平面PAM，则CC1⊂平面C1AM， 与CC1⊄平面C1AM矛盾，故D错误． (变式) 答案：AB 2 截面问题 例2　(1) (2022·清远期末)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AC∥α，则平面α截长方体所得上、下两部分的体积比值为______；所得的截面四边形PEBF的面积为________. (例2(1)) 【解析】 如图，过点B作AC的平行线分别与DA，DC的 延长线交于点G，H，连接PG，PH，并分别与AA1，CC1交于 点E，F. 因为AC∥GH，且AC⊄平面PGH，GH⊂平面PGH，所以 AC∥平面PGH，所以平面PGH即平面α. (例2(1)) (2) (2022·日照二模)在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点P为棱AA1上靠近点A1的三等分点，点Q为棱CD上一动点．若M为平面D1PQ与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为______. 【解析】 如图，延长DA，D1P交于点N，连接NQ交AB于点E，则线段EQ为平面D1PQ与平面ABCD的公共点M的集合， 当Q运动到点D时，E与A重合；当Q运动到点C时，设此时E点运动到F点，则梯形FADC即为点M构成的区域． (例2(2)) 1. 动点问题：在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题． 2. 截面问题：(1) 弄清正方体和圆柱的基本截面，结合线、面平行的判定与性质定理与线、面垂直的判定与性质定理求几何体中截面问题； (2) 建立函数模型求最值问题：①设元，②建立二次函数模型，③求最值； (3) 猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等． 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 对于D，当CE>DE时，在棱A1B1上取点F，使A1F＝CE，连接C1F，AF，如图(3)，则可证得四边形AEC1F为平行四边形．过点F作FM∥A1D1，交棱C1D1于点M，则四边形A1FMD1为平行四边形，A1F綉D1M.又过点M作MN∥DD1，交C1E于点N，连接FN，再过点N作NG∥D1M，交DD1于点G，则四边形D1GNM也为平行四边形，GN綉D1M，则A1F綉GN，连接A1G，则四边形 A1FNG为平行四边形，A1G∥FN.因为A1G⊄平面AEC1， FN⊂平面AEC1，所以A1G∥平面AEC1，故D正确． 变式　(2022·常州期