第七章 第36讲　第2课时　面面夹角与距离-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 第36讲　空间角与距离的计算 第2课时　面面夹角与距离 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 研题型·素养提升 2 1 面面夹角 举题说法 (例1) 研题型 · 素养提升 (1) 求点A到平面A1BC的距离； 研题型 · 素养提升 (2) 设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值(用向量法和综合法两种方法解决)． 图(1) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 方法二(定义法)：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则四边形ABB1A1是正方形，连接AB1，A1B，则AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AB1⊂平面ABB1A1，所以AB1⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BB1⊥BC，又AB1，BB1⊂平面ABB1A1，AB1∩BB1＝B1，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB.   研题型 · 素养提升 图(2) 研题型 · 素养提升 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤 研题型 · 素养提升 变式　(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． (变式) 研题型 · 素养提升 【解答】 方法一：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，所以OA＝OB. 延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，如图(1)．在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF.因为OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC. (1) 求证：OE∥平面PAC； 图(1) 研题型 · 素养提升 方法二：连接OA，OB，因为OP是三棱锥P－ABC的高，所以OP⊥平面ABC，又因为OA，OB⊂平面ABC，所以OP⊥OA，OP⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.因为PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB. 如图(1)，取AB的中点D，连接OD，DE，所以OD⊥AB.因为AC⊥AB，所以OD∥AC.又因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA.又因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC. 因为OD∩DE＝D，OD，DE⊂平面ODE，所以平面ODE∥平面PAC.又因为OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC. 研题型 · 素养提升 (2) 若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值(尝试不同建系方法解决)． 图(2) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 方法二：过点D作DF∥OP，以DB，DO，DF分别为x轴，y轴，z轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系． 图(3) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 2 点到直线的距离 (例2) 研题型 · 素养提升 (1) 求证：平面A1ACC1⊥平面ABC； (例2(1)) 研题型 · 素养提升 (例2(2)) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 3 点到平面的距离(含线面距和面面距) (例3) 研题型 · 素养提升 (1) 求证：PO⊥平面ABC； 研题型 · 素养提升 【解答】 如图，过点C作CH⊥OM，垂足为H，由(1)得PO⊥CH，且PO∩OM＝O，所以CH⊥平面POM，故CH的长为点C到平面POM的距离． (2) 若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． (例3) 研题型 · 素养提升 命题点2　等积法 例4　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点． (例4) 研题型 · 素养提升 因为PA⊥平面ABCD，所以DF⊥PA.又PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF，又PF⊂平面PAF，所以DF⊥PF. (1) 求证：PF⊥FD； 研题型 · 素养提升 (2) 若PA＝1，求点E到平面PFD的距离． 研题型 · 素养提升 命题点3　向量法 例5　如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离． (例5) 研题型 ·