第七章 第35讲　空间直角坐标系与空间向量-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 第35讲　空间直角坐标系与空间向量 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 链教材·温故知新 1. (人A选必一P15习题1.2T2改编)若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是(　 　) A. a B. b C. c D. 2a 激活思维 C 链教材 · 温故知新 (第2题) A 链教材 · 温故知新 3. 在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　 　) A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交但不垂直 B 链教材 · 温故知新 4. (人A选必一P9习题1.1T4改编)已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为______. 链教材 · 温故知新 5. 已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________. －9 链教材 · 温故知新 1. 共线向量与共面向量 知识聚焦   平行(共线)向量 共面向量 定义 位置 关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个平面的向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量共线 充要 条件 共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 链教材 · 温故知新 2. 空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________. 3. 两个向量的数量积 空间向量数量积的运算规则与平面向量同，此处略． xa＋yb＋zc 链教材 · 温故知新 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 链教材 · 温故知新 链教材 · 温故知新 研题型·素养提升 12 1 空间向量的线性运算 例1　如图，已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． 举题说法 (例1) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 用基向量表示指定向量的方法： (1) 结合已知向量和所求向量观察图形． (2) 将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3) 利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 研题型 · 素养提升 (变式) 研题型 · 素养提升 答案：BD 研题型 · 素养提升 2 共线定理、共面定理的应用 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 【解析】 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则A，B，C，D四点共面等价于t－3＋1＝1，所以t＝3. 3 研题型 · 素养提升 3 空间向量数量积及其应用 例3　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (例3) 研题型 · 素养提升 (1) 求AC1的长； 研题型 · 素养提升 (2) 求证：AC1⊥BD； 研题型 · 素养提升 (3) 求BD1与AC夹角的余弦值． 研题型 · 素养提升 变式　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (变式) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 (2) 求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； 研题型 · 素养提升 (3) 求证：AA1⊥BD. 研题型 · 素养提升 4 向量法证明平行、垂直 例4　如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角． (例4) 研题型 · 素养提升 【解答】 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°. (1) 求证：CM∥平面PAD； (例4) 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 (2) 求证：平面PAB⊥平面PAD. 研题型 · 素养提升 研题型 · 素养提升 (1) 利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当