第二章 第7讲　第2课时　函数性质的综合应用-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第二章 基本初等函数 第7讲　函数的奇偶性与周期性 第2课时　函数性质的综合应用 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 研题型·素养提升 2 【解析】 因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，即f(x)＝log2(x＋1)，f(1)＝log22＝1. 因为y＝f(x＋1)为偶函数,所以f(x＋1)＝f(－x＋1),即y＝f(x)的图象关于x＝1对称. 又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)， f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，则f(2 022)＋ f(2 023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1. 1 奇偶性与周期性 例1　已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 022)＋f(2 023)＝(　 　) A. －1 B. 1 C. 504 D. 无法确定 举题说法 A 研题型 · 素养提升 已知f(x)是周期函数且为偶(奇)函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解． 研题型 · 素养提升 【解析】 由f(x)是定义在R上的奇函数， f(x＋2)也是奇函数，得f(－x)＝－f(x) ①，f(－x＋2)＝－f(x＋2) ②，由①可得f(－x＋2)＝－f(x－2) ③，将③代入②可得 －f(x＋2)＝－f(x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)是以4为周期的周期函数． 　　　若f(x)是定义在R上的奇函数， f(x＋2)也是奇函数，则f(x)的一个周期为______(答案不唯一)． 4 研题型 · 素养提升 【解析】 若f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确； 当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确； f(x)关于x＝－3对称且T＝6，所以f(x)关于x＝3对称，故C正确； f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确． 2 对称性与周期性 例2　(1) (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)．若当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　　) A. f(x)为偶函数 B. f(x)在[－6，－3]上单调递减 C. f(x)关于x＝3对称 D. f(100)＝9 ACD 研题型 · 素养提升 【解析】 若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x)．因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，故f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(x)关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1. A. －21 B. －22 C. －23 D. －24 研题型 · 素养提升 答案：D 由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，故f(x＋4)＝f(x)，f(x)周期为4. 研题型 · 素养提升 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． 研题型 · 素养提升 【解析】 因为函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，所以f(6＋x)＝－f(－x)．又函数f(x)为奇函数，所以f(6＋x)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6. 因为2 019＝337×6－3,2 024＝337×6＋2，由周期性可知，函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的图象与在区间[－3,2]上的图象一样． 研题型 · 素养提升 答案：A 研题型 · 素养提升 3 函数性质综合 例3　(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)对任意x