第八章 微难点15　抛物线中的阿基米德三角形-【南方凤凰台】2024高考数学（提高版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 微难点15　抛物线中的阿基米德三角形 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 1 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形被称为阿基米德三角形． 【解答】 设直线l的方程为y＝x＋t，代入抛物线C：x2＝2py(p>0)，可得x2－2px－2pt＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2p，点M(1,2)为线段AB的中点，可得2p＝2，即p＝1，则抛物线的方程为x2＝2y. 1 过弦的端点分别作切线 例1　已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M(1,2)为线段AB的中点． (1) 若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程； 【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(1,2)为线段AB的中点，可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝4. ①＋②可得(x1＋x2)x＝p(2y＋y1＋y2)，即为2x＝p(2y＋4)，即x－py－2p＝0.可得交点S在直线x－py－2p＝0上． (2) 分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，求证：点S在直线x－py－2p＝0上． 【解答】 由题意，设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，AB所在直线经过抛物线的焦点F，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.求证：·为定值． 2 从定直线上的点引两条切线 设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线交抛物线C于M，N两点，O为原点，△OMN的面积为2. (1) 求拋物线C的方程； (2) 设P为直线l：y＝y0(y0<0)上一个动点，过点P作拋物线的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，请说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标． 当－y0＝y0＋2，即y0＝－1时，AB与PH均恒过(0,1)，故存在这样的y0，当y0＝－1时，点H的坐标为(0,1)． 如图，已知Q是抛物线x2＝2py(p>0)准线上任意一点，过Q作抛物线的切线QA，QB分别交抛物线于A，B两点，M(x0，y0)为AB中点，则： 1. 若AB过焦点，则AB的端点的两条切线的交点Q在其准线上； 2. 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即xQ＝xM； 3. AB过抛物线的焦点； 4. AQ⊥BQ； 5. 阿基米德三角形面积的最小值为p2. 谢谢观赏 温馨提示： 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 提高版 由y＝，得y′＝，可得抛物线在A处的切线斜率为，切线方程为y－y1＝ (x－x1)．由x＝2py1，可得x1x＝p(y＋y1)①.同理可得x2x＝p(y＋y2)②. 变式 又y′＝，所以切线方程分别为MA：y＝x－，MB：y＝x－，从而M，所以kFM＝，故kFM·k＝·＝－1，即⊥，所以·＝0，为定值． 例2　已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1) 求证：直线AB过定点； 【解答】 设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0，所以直线AB过定点. (2) 若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 【解答】 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，则x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1)． 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝.因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)·. 设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4. 变式 【解答】 由题意得，点M，N的纵坐标均为，由x2＝2p·，解得x＝±p，则|MN|＝2p.由S△OMN＝·|MN|·|OF|＝·2p