第七章 微专题14　空间几何体的内切球-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）配套精练

第七章 立体几何 微专题14　空间几何体的内切球 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习　南方凤凰台　配套精练　数学（基础版） 1 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【解析】 【答案】B　 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【解析】 C　 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【解析】 【答案】D　 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【解析】 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【答案】B　 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【解析】 C　 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【解析】 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 7．已知棱长为a的正四面体ABCD，则其内切球的半径为________． 【解析】 　　　 　方法一：如图(1)，设AH⊥平面BCD，则H为△BCD的外心，可得外接球的球心在AH上．设外接球的球心为O，外接球的半径为R，则AO＝BO＝R. 图(1) 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 图(2) 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 8．底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为________． 【解析】 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 【解析】 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 点击对应数字即可跳转到对应题目 7 8 9 4 5 6 1 2 3 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习　南方凤凰台　配套精练　数学（基础版） 1．已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为 (　　) A．2π　　 B．3π　　 C．4π　　 D．5π 　　　 　易知三棱锥P­ABC沿PA，PB，PC三条侧棱展开后为等边三角形，设边长为x，则＝2×2，则x＝6，因此三棱锥P­ABC的棱长为3，三棱锥P­ABC的高为2. 设内切球的半径为r，则4××r×S△ABC＝S△ABC×2，所以r＝，故内切球的表面积S＝4πr2＝3π. 不妨设该内切球与母线BC切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△ SBC，得＝，即＝，解得r＝，故所求的体积V＝πr3 ＝π. 2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 (　　) A．π　　 B．π　　 C．π　　 D．π 　　　 　因为圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，如图，圆锥 母线BS＝3，底面半径BC＝1，则其高SC＝＝2. 3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为54，AB＝6，记三棱柱ABC-A1B1C1的外接球和内切球分别为球O1，球O2，则球O1上的点到球O2上的点的距离的最大值为 (　　) A．2　　 B．＋2 C．－　　 D．＋ 　　　 　由题意知，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面积S＝×62×sin60°＝9，且底面外接圆的半径r1＝＝2，内切圆的半径r2＝. 正三棱柱ABC­A1B1C1的高h＝＝＝2，所以外接球的半径R＝＝.设内切球的半径为r，则r＝＝. 因为正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球与内切球的球心重合，知当两球上的点在过球心的直线上且在球心两侧时距离最大，所以最大距离d＝R＋r＝＋. 4．(2023·东莞期末)已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为5，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为 (　　) A．4π　　 B． 32π　　 C． 　　 D． 108π 　　　 　当体积最大时，沿上、下底面直径所在的平面作出剖面图如图所示，显然此时圆F与等腰梯形ABCD的上底以及两腰相切，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得B(1,0)，C(6,5)，则kBC＝＝，则直线BC所在直线的方程为y＝(x－1)，即x－y－＝0. 设F(0，t)，体积最大时球的半径为R，则R＝EF＝5－t，且点F到直线BC的距离等于半径R，所以＝5－t，解得t＝3或11. 因为0＜t＜5，所以t＝3，此时EF＝5－3＝2，则放入的铁球的最大体积为V＝πR3＝π×(2)3＝32π. 5．如图