第二章 第8讲　函数的奇偶性与周期性、对称性　练习1-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）配套精练

第二章 基本初等函数 第8讲　函数的奇偶性与周期性、对称性　练习1 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习　南方凤凰台　配套精练　数学（基础版） 1 一、 单项选择题(选对方法，事半功倍) 1．定义在[－2,2]上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是 (　　) A．y＝sinx B．y＝－2x C．y＝e|x| D．y＝2x3 【解析】 y＝－2x在[－2,2]上单调递减，B排除； y＝e|x|＝e|－x|，故函数在[－2,2]上为偶函数，C排除； y＝2x3,2(－x)3＝－2x3，故函数在[－2,2]上为奇函数，且由幂函数的性质知y＝x3在 [－2,2]上单调递增，则y＝2x3在[－2,2]上单调递增，满足题意． D　 点击对应数字即可跳转到对应题目 10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3 13 14 2．(2022·唐山期末)函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是 (　　) A．f(x)＋g(x)为奇函数 B．f(x)＋g(x)为偶函数 C．f(x)g(x)为奇函数 D．f(x)g(x)为偶函数 【解析】 　　　 　令F1(x)＝f(x)＋g(x)，则F1(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－F1(x)，且F1(－x)≠F1(x)，所以F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A，B错误； 令F2(x)＝f(x)g(x)，则F2(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F2(x)，且F2(－x)≠F2(x)，所以F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误． C　 点击对应数字即可跳转到对应题目 10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3 13 14 3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则 (　　) A．f(2 025)＝0 B．2是f(x)的一个周期 C．当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3 D．f(x)＞0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z) 【解析】 　　　 　因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，所以T＝4且f(x)的图象关于直线x＝1对称，因此f(2 025)＝f(1)＝1. 由奇偶性可得，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，当x∈(1,3)时，x－2∈(－1,1)，f(x－2)＝(x－2)3＝－f(x)，所以f(x)＝(2－x)3，由周期性知，当x∈[－1,3]时，f(x)＞0的解集为(0,2)，当x∈R时，f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)． D　 点击对应数字即可跳转到对应题目 10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3 13 14 4．已知函数f(x)对任意的实数x都满足f(x＋4)＋f(x)＝2f(2)，且函数f(x)为奇函数，若f(－1)＋f(－2)＝2，则f(2 025)等于 (　　) A．0 B．2 C．－2 D．2 021 【解析】 　　　 　因为函数f(x)对任意的实数x都满足f(x＋4)＋f(x)＝2f(2)，f(2)＋f(－2)＝2f(2)，所以f(－2)＝f(2)． 又f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，所以f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，即f(x＋4)＋f(x)＝0，f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x)＝f(x＋8)，故f(x)是周期为8的周期函数． 若f(－1)＋f(－2)＝2，则f(－1)＋0＝2，即f(－1)＝2，则f(2 025)＝f(253×8＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2. C　 点击对应数字即可跳转到对应题目 10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3 13 14 二、 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的) 5．(2022·盐城三模)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有 (　　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．g(2 023)＝0 C．g(x)的最小正周期为4 D．对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x) 【解析】 　　　 　由题知，f(x)图象的对称中心为(0,0)，对称轴为x＝1，所以f(x)的图象也关于直线x＝－1对称且f(x)＝f(2－x)，A，D正确． 由A分析知，f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确； 但不能说明f(x)的最小正周期为4，所以g(x)的最小正周期也不确定，C错误． ABD　 点击对应数字即可跳转到对应题目 10 11 12 7 8 9 4 5